问题

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值
难度中等56
在一个 mn 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:
*输入:

  1. [
  2.   [1,3,1],
  3.   [1,5,1],
  4.   [4,2,1]
  5. ]

输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
提示：

  • 0 < grid.length <= 200
  • 0 < grid[0].length <= 200

解答

动态规划，由于每次只能向右或者向下移动一格。所有在当前格的最大价值的礼物，就等于上一个或者左一个的礼物的最大值加上当前格礼物的价格。

  1. class Solution {
  2.     public int maxValue(int[][] grid) {
  3.         int rowCount = grid.length;
  4.         int colCount = grid[0].length;
  5.         int[][] dp = new int[rowCount][colCount];
  6.         dp[0][0] = grid[0][0];
  7.         for(int i = 1; i < rowCount; i ++)  // 初始化第一列
  8.             dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];  // 注意，dp[i-1][0] + grid[i][0]， 而不是 grid[i-1][0] + grid[i][0]
  9.         for(int j= 1; j < colCount; j ++)  // 初始化第一行
  10.             dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
  11.         for(int i = 1; i < rowCount; i ++){
  12.             for(int j = 1; j < colCount ; j ++)
  13.                 dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] + grid[i][j], dp[i][j-1] + grid[i][j]);
  14.         }
  15.         return dp[rowCount-1][colCount-1];
  16.     }
  17. }

改进

动态规划问题，最常见遇到的问题就是，需要解决边界条件问题。在内存不紧张的情况下，可以通过多增加一行或者一列来消除边界条件。

  1. class Solution {
  2.     public int maxValue(int[][] grid) {
  3.         int rowCount = grid.length;
  4.         int colCount = grid[0].length;
  5.         int[][] dp = new int[rowCount + 1][colCount + 1];
  6.         // 通过增加一行和一列来消除边界条件，以空间换时间
  7.         for (int i = 1; i <= rowCount; i ++)
  8.             for (int j = 1; j <= colCount; j ++)
  9.                 dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i-1][j-1];
  10.         return dp[rowCount][colCount];
  11.     }
  12. }