《同步：秩序如何从混沌中涌现》
斯蒂芬·斯托加茨
111个笔记
01 萤火虫闪烁：同步是必然发生的
萤火虫的群体行为对于整个科学界同样具有更广泛的意义。它体现了一个复杂的自组织系统为数不多的几个容易处理的实例之一，数以百万计的相互作用同时出现，此时每个个体都在改变其他个体的状态。实际上，当今科学界所有主要的悬而未决的问题都具有这种复杂的特征，
所有这些现象都涉及连接到复杂网络中的海量个体，每种情况都会自发涌现出惊人的模式。我们身边的丰富世界在很大程度上就是由自组织造就的奇迹。
然而，我们的大脑并不善于处理这些问题。我们的思考方式习惯于集中控制，清除指挥链，以及直截了当的因果逻辑。但在巨大的相互连接的系统中，每个个体最终都会影响到所有其他个体，这样一来，我们标准的思考方式便会崩溃。
同步对迷惑食肉动物也同样有益，与群体混在一起总是最安全的。最新的理论是，同步可以反映出竞争关系，而非合作：每一只萤火虫都试图成为第一只闪光的虫子（因为雌虫似乎更偏爱这种雄虫），但如果每一只萤火虫都遵循这种策略，那么同步注定会自发出现。
这使得数学建模既是一门科学，也是一门艺术：一个优雅的数学模型即意味着简洁与逼真之间的恰当折中。
02 脑电波研究：同步发生的条件
在任何时刻，一个振子的速度都是由三个因素决定的：它偏爱的步调，这与它的固有频率成正比；它当前对所有外界影响的敏感度，这取决于它处于自身周期中的位置；以及其他所有振子对其产生的总体影响，这取决于每个振子分别处于各自周期中的位置。
这是海量的数学账目，但原则上，整个系统每时每刻的状态是由每个振子当前的位置决定的。换句话说，对于现状的全面了解使完整地预测未来成为可能，至少在理论上是这样。
计算有条不紊地进行着。给定所有振子的位置，我们就可以根据温弗里的方程计算出它们的瞬时速度。这些速度随后告诉我们，每个人在下一瞬间会前进多少。假设一个瞬间只是一个很短的时间间隔，所有的振子在这段时间内平稳运行。那么每个振子绕着圆环移动的距离就等于它的速度乘以移动的时间，就像高速公路上行驶的汽车。
线性系统无法应用于太丰富多样的行为。传染病的传播、激光束强烈的相干性、湍流的摆动……所有这些都是由非线性方程组控制的。当整体不等于部分之和的时候，即当系统中存在合作或竞争的时候，控制方程一定是非线性的。
温弗里发现，当系统自发同步的时候，没有任何振子是不可缺少的。它们之中没有领袖，任何一个振子都可以被移除，同时也不影响系统的运行。此外，群体无须以其中速度最快的成员的速度运行。根据“影响度函数”和“灵敏度函数”的选择，群体可以按照其成员的平均速度运行，也可以比任何成员的速度更快或更慢。这种现象极其违反直觉，群体的同步不是等级制度，但它也并不总是纯粹的民主状态。
主要的区别是当振子达成同步的时候，它们达到的是时间上的一致，而非空间上的一致。这种概念上的转变是温弗里比喻中的巧妙之处。
有了这一发现，温弗里就在过去很少注意彼此的两个伟大学科之间的建立了联系。一个是非线性动力学，主要研究系统随时间演化的复杂方式；另一个是统计力学，它是物理学的分支，主要研究原子、分子或其他简单粒子构成的巨大系统的集体行为。这两个学科都可以相互弥补对方的缺陷。一方面，非线性动力学可以轻松处理只有少数变量的小型系统，但它无法处理大粒子群，而这对于统计力学而言只是小儿科。另一方面，统计力学擅长分析达到平衡状态的系统，但它不能处理任何随时间振荡或不断变化的事物。
令人感到新奇和振奋的是，除去看到了相变以外，藏本由纪还为它推导出了正确的公式。此外，他还可以精确地计算出小组的有序程度，即一个钟形曲线宽度的函数。藏本由纪的公式表明，一个微小的同步核心会诞生在阈值处，此时序参量略微大于0。随着振子差异的减小，它们会变得更加相似，序参量随着同步小组吸引的群体中更多的成员而增大。最后，当钟形曲线宽度等于0时（对应于全同振子），藏本由纪的公式预示了一个完美的有序状态，即所有振子全部同步。
大型非线性系统是魔鬼，几乎不可能解决。
让我着迷的问题是，秩序究竟是如何从随机状态中涌现的？一个由数以百万计的粒子组成的系统如何自发地组织自己？这个问题听起来很神秘，带有浓厚的宗教色彩，不禁让人们联想起《圣经》中的创世故事，《圣经·创世纪》中记载，地球的开端是虚空且未成形的，古希腊人把这种状态称为“混沌”。
我们可能永远也无法理解宇宙中的秩序的起源，但是在藏本由纪的模型所假想的宇宙中，这个问题简化了许多，我们可以用数学解决它。在这里，创世问题变成了“非相干如何产生同步”。
朗道做出的诸多贡献之一是，他在20世纪40年代末曾预言了关于等离子体的反常现象。等离子体有时又被称为“物质的第四态”，温度比固体、液体或气体更高。
维纳像一个能够看到世界运行规律的先知。我们在其他一些伟大的科学家身上也能看到这一点。如果伽利略满足于描述真实发生的事情（摩擦力会使物体停止运动），他就不会发现运动中的物体倾向于保持运动的状态（惯性定律）。通过忽略非必要因素，他发现了最基本的力学定律。孟德尔通过研究豌豆的遗传模式，发现了遗传学定律。但一些现代统计学家质疑他的数据，认为它过于简洁，缺乏说服力，而其他人更进一步暗示孟德尔精心挑选了最能说明他所寻求的规则的农夫。无论你相信哪种观点，但很显然孟德尔确切地知道自己在寻找什么。
这些细胞的运动频率不是10赫兹，而是要慢大约100万倍。这些细胞是昼夜节律起搏细胞，它们是让我们保持与周围世界同步的内部计时器。
03 睡眠周期：同步与非同步的斗争
我们睡得越晚，醒得就越快，无论我们是否已经睡足，闹钟都会响。
04 苍茫的宇宙：同步无处不在
贝尔实验室的阿尔诺·彭齐亚斯（Arno Penzias）和罗伯特·威尔逊（Robert Wilson）努力地清除着巨大天线上的鸽子粪，以排除那些他们认为来自太空各个方向恼人的背景噪声，直到他们意识到自己所听到的是宇宙诞生的声音——140亿年前宇宙大爆炸的回声。
意外发现总是出现在具有特定思维模式的人当中，在探索时，这些人的注意力高度集中，思维敏捷，他们只是碰巧发现了别的东西。
虽然经度问题已成为历史，但时钟一致问题却日渐成为科学研究的中心议题。昔日的天才惠更斯（牛顿曾称他为“德高望重的惠更斯”）也无法领会宇宙在他房间里透露的全部秘密。作为300余年后的后知之明，我们现在知道了这些现象背后的含义。惠更斯发现了一种自然万物中无处不在的驱动器，他发现了无生命的同步。
时钟的同步告诉我们，同步的能力不依赖于智能、生命及自然选择。它源于最深刻的万物之源：数学和物理定律。
同步的高新技术应用是惠更斯摆钟和经度问题的嫡系后裔。
全球定位系统不仅仅是一个导航系统，它还可以将时间同步到万分之一秒以内，这对于协调银行转账以及其他金融交易非常有帮助。
全球定位系统由在地球上空17700千米的轨道上运行的24颗卫星组成，它们的排列使得在任何时刻，地球上的任意位置都至少可以看到6颗卫星。每颗卫星上都载有4台原子钟，彼此之间与博尔德的主时钟的同步误差不超过十亿分之一秒。
果真如此的话，那么我们必须感谢天文同步，它不仅杀死了恐龙，为我们的祖先腾出生存空间，而且它还提供了生命之源——水。
宏大的同步可以发生在宇宙这个最大的尺度上，而在最小的尺度上发生的同步可能会更惊人。
05 量子的合唱：同步无孔不入
如果要用一句话总结古怪的量子的精髓，这句话一定非沃纳·海森堡（Werner Heisenberg）著名的不确定性原理（uncertainty principle）莫属，也是谚语“鱼和熊掌不可兼得”的改进版。不确定性原理表达了某些成对的物理变量之间如跷跷板般的变化关系，例如一个电子的位置和速度。降低其中一个物理量的不确定性必然会增加另一个的不确定性，你无法同时降低二者的不确定性。
这个计数问题有点像“同卵双胞胎彼得和保罗坐在两把椅子上，有多少种不同的排列组合方式”，如果用正常的计数方法，我们会说有两种：保罗坐在左边，彼得坐在右边；或者相反。但如果彼得和保罗的长相完全一样，那么如果你过了一会儿再回来，你永远不会知道他们是否调换了椅子。由于我们无法区分他们，所以就只有一种排列组合方式：每把椅子上坐着双胞胎之一。玻色说，当物体难以区分的时候，我们就需要采用不同的计数方式。
现在我们可以想象一群这样的概率云，它们都在三维空间里随意飘来飘去。这个群代表玻色子气体，问题是：当我们把这种气体的温度冷却到接近绝对零度时会发生什么。根据海森堡不确定性原理，注定会发生一些奇怪的事情：这些模糊的东西会变得更加模糊。概率云会扩大并且变得稀疏，这意味着玻色子可以在更广阔的范围内游荡。至于其中的原因，可以回想一下前文提到的跷跷板。冷却玻色子，将它们减速到几乎静止，作用是将它们的速度限定到一个确定数值（它们的速度不可能小于零）。现在，由于跷跷板的速度一端被压低，所以位置一端必然会上升。同理，玻色子的速度变得越确定，它们的位置必然会变得越不确定。换句话讲，它们变得更模糊了，它们的概率云向外延伸了（见图5-2）。
玻色-爱因斯坦凝聚体几乎就是难以想象的外星产物。没有人确切知道该如何描述它的意义。人们常用的说法是，许多单个的原子凝聚成了一个巨大的“超级原子”。其他人则将这种新状态描述为“一锅模糊的、重叠的炖菜”。
它们的波谷和波峰完全对齐，物理学家称之为“相位相干”。类似地，当耦合振子系统同步振动的时候，所有振子也都具有相同的相位。不同的是，振子不会真正合并成一个。
量子相位相干不仅仅是神秘的奇闻逸事。它带给了我们20世纪最重要的发明之一——激光。
配对的重要性在于，它改变了电子结交的意愿。单个的电子是费米子，是固执的隐士。但一旦有两个电子配对成功，实际上就变成了玻色子。（这与量子理论相符，表明费米子和玻色子之间的区别类似于奇数和偶数之间的区别；两个费米子配对成为一个玻色子，而两个奇数相加则成为一个偶数。）一旦电子耦合形成了这些所谓的“库珀对”，它们便极度渴望与其他玻色子结交，以至于它们都挤进了相同的量子态——最低能量状态。接着，它们会全都失去自己的身份，凝聚成玻色-爱因斯坦凝聚体。在青年舞会的比喻中，这就意味着整个人群都在同步跳着集体舞。
物理学界的傲慢是毫无根据的。约瑟夫森曾经是一个英雄，现在仍然是。当我读到他对超自然现象的讨论时，并不感觉逆耳和荒谬。
06 晃动的千禧桥：中间物的弱耦合
我们可以把上述科学家的工作看作是一个复杂整体的一部分，彼此之间通过数学建立起了联系的桥梁。
这是一种让数学家充满敬畏的巧合。“这是一种奇妙的感觉，”爱因斯坦说，“为了识别出复杂现象的统一性，要去观察貌似完全无关的东西。”
所有这些复杂现象都可以追溯到结点处相位的非线性动力学特性。
如果我们想让事情进一步复杂化，让扭矩本身随时间变化，如同洗衣机的来回搅动，此时钟摆的旋转会变得混乱，它会以各种各样的方式旋转，随意地改变方向。与约瑟夫森结相对应的电痉挛的验证是混沌理论的成功实验之一。在此之前，物理学家一直将钟摆看作规则钟表的标志，而在突然间，钟摆成了混沌的范例。
最重要的是，旋转的钟摆和约瑟夫森结的动力学特性都被同一个非线性的方程支配。正如前文强调的，非线性问题是丰富、迷人，而又非常困难的。它们位于数学的前沿，甚至远远超越了前沿。20世纪70年代至80年代，混沌理论的研究进展打开了我们的眼界，让我们得以了解钟摆和约瑟夫森结的动力学特性，并破译它们的密码。
1990年，威森弗尔德已经名声大噪。1987年，他与同事共同撰写了论文，介绍了“自组织临界” 的概念。这是一个雄心勃勃的理论，它宣称能解释为什么那么多复杂的系统似乎永远停留在灾难的边缘。
对于由好奇心驱动的研究，除了它带来的乐趣以外，最美妙的事情之一就是它经常有意想不到的副产品诞生。
直到现在，藏本由纪模型仍被认为只不过是个方便的抽象概念而已，是了解不同的振子群体在何种情况下，以及如何自发同步的最简单的方法。它诞生于纯粹的想象，被编造成了一幅有关生物振子的漫画：蟋蟀、萤火虫、心脏起搏细胞。现在，它又在超导约瑟夫森结的动力学特性中被发现了。这让我想起了爱因斯坦谈到的那种美妙感觉，识别出了隐藏的统一的美妙感觉。
换句话说，这种转变从来没有引起人们的注意（阐明了一句格言：你永远不应该相信一个未经理论证实的事实）。
藏本由纪模型的广泛出现引发了一个问题，即为什么这个特殊的数学结构会如此普遍？说实话，它可能并不是一个普遍现象。我专注于它，因为它是让我们可以很好地理解自发同步的唯一例子。在理论上，我们可以说明，只有当四个特定条件满足时藏本由纪模型才会出现，否则就不会出现。第一，问题系统必须建立于大量的组件之上，其中的每一个都是自激振子。这是一个强大的限制条件，单个元素必须满足极其简单的动力学特性：遵循着标准周期的纯粹的节律性，没有混沌、湍流以及任何复杂的东西，只有重复的运动。第二，振子必须是弱耦合的。从这个意义上讲，每个振子的状态特征可以单独通过相位来描述。如果耦合强大到足以明显扭曲任何振子的振幅，那么藏本由纪模型便不适用。第三，也是条件最严格的，每个振子之间的耦合强度必须相同。自然界中很少有系统会满足这一点。通常情况下，邻近的振子之间的耦合最强，或者由相互影响的网络定义的虚拟邻近的集合之间的耦合最强。第四，振子必须是几乎相同的，其特性散布应该与它们之间微弱的耦合强度大致相同。
07 混沌：蝴蝶效应
洛伦茨方程的解的特征与数学中出现的一切都不相同。他的方程可以产生混沌：由非随机的、确定性的规则支配的看似随机的、不可预测的行为。
他们的共同点是对于动力学、对于流动、对于隐藏模式和对称性的一种感觉，总之，是对于理论科学最黑暗角落的一种诱惑：非线性问题。
数学家斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）曾说，把一个问题称为非线性问题就像去动物园谈论你看到的所有好玩的非大象动物。他想表达的是，大多数动物都不是大象，大多数方程都是非线性的。线性方程很容易描述，有理想化的解，即原因与结果成正比。例如驱动力与反应就是成正比的。将一条钢梁分别弯曲2厘米和1厘米，前者受到的应力是后者的两倍。“线性”这个词指的便是这个比例：如果你描绘出钢梁的挠度与所施加的力的图表，就可以看到二者呈线性关系。（此处的线性指的并不是次序，例如“线性思维”，如一件事接一件事地直线思考）。
在线性系统中，整体精确地等于部分之和。
事实上，生命本身就依赖于非线性。当整体不等于部分之和时，当事物间出现了合作或竞争，不只是将它们的单独贡献相加的时候，你就可以肯定非线性是存在的。生物学中到处都在使用非线性
人的心理状态毫无疑问也是非线性的，因为如果你在同一时间听你最喜欢的两段歌曲，你不会得到双倍的快乐。
非线性系统的这种协同特性正是它们难以被分析的原因。它们不能被分开，整个系统必须作为一个连贯的实体一起检查。正如我们先前看到的，这种必要的全局思维是理解庞大的振子系统如何自发同步的最大挑战。一般来说，自组织的所有问题从根本上说都是非线性的，所以对于同步的研究一直与非线性研究密不可分。
非线性系统的协同特性也是使它们如此丰富多彩的原因。科学中的每个重要且悬而未决的问题，从意识到癌症，再到经济的集体盲目，都是非线性的。在接下来的几个世纪里，科学界会努力攻克非线性问题。从20世纪60～70年代开始，所有同步科学的先驱——维纳、温弗里、藏本由纪、佩斯金以及约瑟夫森，他们已经照亮了一条通向山顶的道路，这是一条通向庞大振子系统的自发有序的路径。随着混沌理论的兴起，又有新的盟友加入了探索。虽然两者的路径不同，却通往同一座高峰。
我们迷惑的一部分源于这个词本身。在口语中，混沌意味着一种完全无序的状态。然而，在技术意义上，混沌是指一个随机出现的状态，但它实际上是由非随机规律产生的。因此，它占据了一个介于有序与无序之间的陌生的中间地带。它表面上看起来古怪，实际上却包含了神秘的模式，受严格的规则支配。从短期来看，混沌是可以预测的，但从长远来看，它是不可预测的。它从不重复自己，它的行为是非周期的。
以上这些就是混沌的特征：在确定性系统中看似随机的无规律行为；由于确定性的规律，短期内可预测；又因为蝴蝶效应的不可预测性，长期则无法预测。
混沌的现象引起了一些微妙的哲学问题，这些问题蒙蔽了一些粗心的人。
而另一方面，混沌系统有着一种完全不同的表现方式，正是在这里，我们开始了解到蝴蝶效应真正令人丧失信心的含义。成功地预测一个混沌系统状态的时间长度取决于三个因素：我们可以容忍多大的预测误差；我们对初始状态的测量精度的高低；我们无法控制的时间尺度，又被称为“李雅普诺夫时间”，它主要取决于系统本身的内在动力学特性。
混沌的最后一个微妙之处与潜伏在其中的一种奇怪的秩序相关。混沌不是无形的（再次声明，不要理会这个词语的通常意义）。对于它底层结构的暗示表现在了玩具水轮的运动中，伴随着它永不停息的旋转和反向。尽管序列从不会完全重复，但它的总体特征保持不变。混沌拥有永远不会改变的品质，这是混沌的本质。
早在20世纪60年代初，当洛伦茨分析他的小模型时，就将混沌的本质具体化了。
他将其描述为“表面无限复杂”，今天我们把它称为“奇怪吸引子”。
这个无限复杂的表面——奇怪吸引子，包含了一种新的有序。虽然轨线的运动细节不可预测，但它总是停留在吸引子上，总是穿过相同的子状态。它有限的本领解释了混沌中隐藏的秩序，并解释了为什么它的本质永远不变。
这就是洛伦茨吸引子的轨迹的命运。牵引装置相当于不同的微分方程，它决定了轨迹，即吸引子每个瞬间的速度和方向。规则是完全确定的：轨迹的命运取决于它的初始条件。
奇怪吸引子的存在也保证了某种秩序，正如你总是被困在车库里，在相同状态下不断循环，虽然从未经历过相同的序列。
此前，这种有关混沌的实用主义思想路线从未发生在任何人身上。那时，混沌理论已被纯粹的研究者、为之着迷的科学家所主导，而不是应用于工程，他们从未考虑过混沌理论的实际应用。
“我需要用混沌来驱动混沌——我需要用来自相同种类系统的信号来驱动接收器。”
即便缺乏在通信或编码理论方面的基本知识背景，他们仍然想出了一个笨拙的方法，这种方法需要发送两个信号：一个信号用来建立接收机和发射机之间的同步；另一个是混合信号，负责携带极低功率信息的掩码。
使用混沌激光通信的另一个优点在于，混沌要复杂得多，难以破解。复杂度可以被所谓的“奇怪吸引子的维度”量化，它是维度一般概念的自然概括。但与直线（一维）或平面（二维）不同，奇怪吸引子的维度通常是带小数点的。
除加密应用之外，混沌同步更为恒久的馈赠或许是加深了我们对同步本身的理解。从现在起，同步不再只与节律性相关，与之相关的还有循环、周期、重复。混沌同步得以让我们与宇宙中的一种令人眼花缭乱的新秩序面对面，至少我们先前从未认识过它：一种我们曾认为只有人类才有的时间艺术形式。它揭示出了同步更加无处不在的面貌，至少比我曾经猜想的更加微妙。
08 三维中的同步
《生物时间的几何学》
“从细胞分裂到心跳，有规律的节奏遍及每个有生命的有机体。生命循环最终是生化机制，但许多支配它们的编曲原则本质上是数学。”
温弗里的研究议程，就像他写给我的字迹凌乱的信中所述，超前于所有人的思想。当然，温弗里完全游离于主流科学之外，随着科学走向狭窄的专业化趋势以及对简约的强调，人们钻进了越来越小的研究单元中——而温弗里从不思考单个基因、夸克或神经元通道。他甚至游离于混沌革命之外，所有的混沌学研究者都感觉自己位于浪潮之巅。但是实际上，混沌革命已经走向成熟，即将让位于下一波伟大的浪潮：即由很多部分组成的非线性系统的研究。后来这类研究被称为“复杂性理论”，这一运动看上去像混沌的自然产物，但在其表象之下，复杂性理论学家们专注的不是小系统不稳定的行为，而是着迷于大型系统有组织的行为。温弗里最早的关于生物振子自发同步的工作已经触到了这一主题。到现在，它已经在几个方面趋于成熟了。
1981年，非线性动力学显然没有发展到可以预测这种三维旋转波行为的程度。我们无法计算出它们的实时演化、无规律的移动以及电子湍流的旋转模式。即便在超级计算机的帮助下或许可以计算，这样的尝试也都是不成熟的，因为我们不知道如何解释这些发现。实际上，甚至没人知道这些影影绰绰的家伙的图像究竟是什么样的。它们尚未被心脏病专家直接看到过。所以温弗里觉得，第一步是学习如何识别它们，在头脑中构想它们的特征，以免日后担忧它们的惯常行为特征。
现在假设你在培养皿中的两个不同的点上引爆了两列化学波。蓝色的圆圈扩大并相互蔓延。当它们相遇时，不会互相渗透或叠加，而会湮灭。这种现象的原因与汹涌的草原火灾相遇时消失一样：它们无法燃烧彼此的灰烬。在这个比喻中，灰烬对应于耗尽区，即波浪过后的耐火带。化学介质需要时间恢复，才可以再次变得活跃。
应激介质的广义系统。神经元有三种状态：平静态、激发态和耐火态。通常一个神经元是平静态。对于不够强的刺激，它几乎没有响应，并返回休息。但一次充分的刺激会激发神经元，导致它发射。接下来它变为耐火态（一段时间内无法再次被激发），最后再回到平静态。
如今，大家公认，螺旋波是所有化学、生物、物理应激介质的一个普遍特征。
螺旋波最惊人之处是，它们似乎是有生命的。它们可以自维持，不需要起搏器：螺旋波本身就是起搏器。如果你在激活的B-Z反应的薄层中观察到了螺旋波，它看上去就像一座旋转的风车，永不停歇地追逐自己的尾巴并自我再生。
这里，我们看到了自发秩序一个纯粹而简洁的例子。我们开始于一盘恰好容易受激的化学汤。然后用一个银线接触它，晃动它，建立一种随机激励模式。它没有结构，只是一团糟，但从中出现了佩斯利花纹。这没有什么神秘的。这种模式遵循应激介质的规律，这些规律同样来自非线性动力学。
09 小世界网络：深层的无尺度结构
我在某个地方看到，地球上任意两个人之间的间隔都只有6个人——六度分离。
研究人员现在才开始解开复杂网络的结构，从简单有机体的神经系统到美国最大公司重叠的董事会，这些网络的规模经常令人望而却步。例如，基因组中的3万个基因，地球生态系统中的数以百万计的物种，地球上的数十亿人口，互联网上的100亿个网页。但问题远比这些还要复杂。即便给了我们这些系统的完整接线图——所有的节点（基因、物种、人）以及它们之间连接的列表，我们也不知道该计算什么。海量的数据压倒了一切。即便我们知道了我们在寻找什么，复杂网络的秘密仍然难以捉摸。
网络理论关注个体之间的关系以及相互之间作用的模式。个体的确切属性被淡化，甚至被抑制，以期望发现更深层次的规律。网络理论家会观察任何一个由相互关联的组件所组成的系统，并观察点连成线的抽象模式。重要的模式是事物间的关系结构，而不是点本身的性质。从这种更高的角度看，许多看似无关的网络，现在看起来也非常相似。
复杂网络的研究只是更漫长旅程中的一个逻辑步骤，它是一种寻求自发秩序的科学。迄今为止的探索已经将我们从协调行为（一对相同事物的节律同步）的最原始方式带到了时间和空间上更复杂的舞蹈编排：从节律到混沌，从空间中的全局耦合到局部作用。下一步是转移到更一般的连接，这里的“邻居”是抽象意义上的，无须地理上的定义。正如非线性系统之间的空间耦合催生了一种新的集体行为——自组织的螺旋波和卷轴波，它不会出现在简单的几何形状中，复杂网络是当今科学界所面对的最神秘群体行为的自然环境。
我们需要掌握网络结构的规则，去学习如何自然地编制错综复杂的网络。确切地讲，我们第一次踏入这一领域的方法是去研究同步，研究蟋蟀为何齐声鸣叫。
如果它在准备鸣叫时听到了叫声，它会通过必要的修正使自己神经时钟提前。如果它在自己刚刚鸣叫之后听到了叫声，这表明它自己的鸣叫过早，它的神经系统会自动校正时钟，稍稍推迟下一次的鸣叫。通过这种方式，蟋蟀神经系统的工作非常像惠更斯的钟摆，负反馈产生了某种促进同步的变化。如果我们可以从许多只单独的蟋蟀中量化出它的鸣叫节律，并描绘出每一只蟋蟀如何调整自己的节奏以回应其他蟋蟀的鸣叫，那么数学便能够在很宽的条件范围内预测出它们的集群行为。
理论家们通常都会绕开连接问题。当他们不再假设不切实际的规则排列时，便走上了另一个极端，建模成完全随机的连接。
数学流行病学家经常求助于相同的假设，他们会假设，被感染者随机与易受感染者混合，尽管对许多种疾病（尤其是性传播的疾病）而言，接触网络不可能是随机的。与规则网络类似，随机网络是十分诱人的理想化网络。理论家们沉迷于这种网络，并不是因为它们逼真，而是因为它们最容易分析。
规则网络与随机网络的二重唱开始看上去愈发不合理。所有互联网用户都感觉到互联网既是一种模式，又是一座迷宫，网页链接总是指向相同话题的其他网页，但偶尔也会偏离到特殊的岔道。
这一论点突出了理解更普遍意义上的重叠的重要性。网络中重叠的平均数量通过第二个统计量进行量化，这个统计量就是“集群”（clustering），集群的定义是连接到同一节点的两个节点彼此互相连接的概率（就人而论，即朋友的朋友彼此也是朋友的概率）。在上文讨论的两种极端模型中，集群的变化范围相当大，初始圆环的集群高达0.75，随机网络的集群则低至六百万分之一。
这种模拟最重要的结果是，在重连过程中的广阔中间状态中，模型网络集群性很高，同时规模又很小。这种奇特的组合在数学上是新奇的。在传统网络中，规模大小和集群密切相关。随机网络规模很小，集群性很低；规则网络规模很大，集群性很高。重新连接的网络却设法让规模小和高度集群二者同时发生。
我们将拥有这对看似矛盾属性的网络称为“小世界网络”，人际关系之间也存在与之极为相似的矛盾，我们在紧密的圈子中运动，而全世界的人却都被非常短的关系连接到了一起。现在的问题是：大自然能否利用这种网络结构的特殊形式？如果能的话，目的又是什么？
电网和神经系统是两个完全不同的网络：一个由人类创造，另一个是进化而来。一个是有史以来建造的最庞大的机器之一，由成千上万公里的电缆连接的同步发电机组成的庞大网络；另一个是显微镜下的精致物品，数百万年的自然选择的产物，蜷伏在蠕虫身体中的网络。虽然二者差异巨大，但是它们的结构却惊人的相似。二者都达到了可能的最小规模。二者都是高度结构化的，绝不是随机的。
1967年，哈佛大学社会心理学家米尔格拉姆设计了一个实验，以测试美国社会是更像一群毫无联系的孤岛，还是更像一张巨大的连锁网络。
正如这些有趣的结果显示，它们仍然是不确定的。这些关系链可能都不是最短的，因此真正的平均路径长度无法估计。它甚至可能是无限的：可能有生活在不可逾越的社交圈子中的两个人，他们之间没有关系链。如果没有更多关于网络局部连接的信息，我们就不可能计算它的集群。要回答这些更详细的问题，我们还是需要找到一个社会网络，其特征被完全描绘出来，每个节点和边都有不容置疑的记录。
电影演员的网络可以是社交网络的替代品。社交网络通过友谊连接，演员的网络则通过电影连接。
我们再次看到了相同的二元矛盾：短路径长度和高度集群，是小世界网络的鲜明特征。无论什么原因，或许是运气，抑或是更深层次事物的暗示，我们现在看过的三个网络（它们并非是仔细挑选的）结果都被证明是小世界。这种相似性在网络的不同规模和科学来源之下显得特别突出。我们开始感到，小世界网络可能是非常普遍的。
网络中的每个节点现在都代表一个自激振子——一只唱歌的蟋蟀，一只闪烁的萤火虫，一个起搏器神经元，节点之间的边会反映出相互作用的模式。
这个难题抓住了所谓“集体计算”的本质。请想象一群筑巢的蚂蚁。一只蚂蚁不知道蚁群在做什么，但它们在一起的表现就像具有思维一般。或者回忆亚当·斯密提出的“看不见的手”的概念，如果每个人都进行局部计算，都以自身的利益行事，整个经济将演化到一个对所有人都有利的状态。
一旦网络的接线图以某种微妙的方式改变，它便自发拥有了计算能力。其含义是，对其他集体计算问题而言，小世界结构可能是一个强大的设计，即便是简单的局部规则，也会赋予小世界惊人的力量。因此，我们有理由推测，进化可能会将小世界网络的结构应用于生物神经系统的设计。
小世界网络连接的重要性在传染过程中表现得更清晰。任何可以传播的东西——例如传染病、计算机病毒、想法、谣言，都会更容易、更迅速地在小世界中传播。不太明显的一点是，世界变小仅仅需要几条捷径而已。
格兰诺维特发明了一个值得纪念的短语，以描述一个人惯常圈子之外的社交关系的重要功能。这篇现已成名的论文的标题为《弱关系的力量》。
在解剖层次上——单纯、抽象的连接的层次，我们似乎已经偶然发现了复杂性的普遍模式。不同的网络表现出了相同的三种倾向：短路径、高集群，无尺度链接分布。这些巧合十分怪异，难以解释。
无尺度网络同样表现了一种对于自然选择的折中：它们天生就对随机故障有抵抗力，对蓄意攻击它们的枢纽则表现得十分脆弱。鉴于变化随机发生，自然选择青睐那些可以容忍偶然损害的设计。通过它们规则的几何形状，无尺度网络对随机故障具有鲁棒性，因为绝大部分节点都有几个链接，因此可有可无。不幸的是，这种进化的设计有一个缺点。当网络的中心被精确瞄准时（随机变化永远不会这样做），网络的完整性迅速降低——巨大组件的规模塌缩，平均路径长度膨胀，节点变得孤立，在自己的小岛上随波逐流。
在努力理解自发秩序起源的过程中，这个关于复杂网络的新生理论是漫长旅途中的另一步，它始于惠更斯和他的同步钟摆。经过几个世纪的对于完全节律性实体——振子的思考，开始时两个耦合在一起，然后是多对多耦合，接下来是空间中的规则网络，数学家和科学家们才刚刚开始考虑更复杂的动力学，例如，混沌和可激发性以及更复杂的结构，例如小世界网络和无尺度结构。
在这个早期阶段，我们的模型是对于现实的苍白模拟。我们假定，网络是由普通的、静态的、相同的节点构建的，节点通过在强度和特点方面没有方向性、没有多样性的边连接起来。在纯连接方面，我们仍有许多东西有待学习，但现在是时候前进了，在网络中加入非线性动力学，超越极简的接线图。我们模型中的节点需要变成振子、神经元或发电厂，边需要具有多样性并充满活力。我们对支配基因、蛋白质、人类之间相互作用的法则几乎仍然一无所知。
10 人类社会：从流行到意识产生
阿尔达关于流行的问题突显了我们对同步的人文性了解甚少。过去，耦合振子理论家总是回避心理学和群体行为学的问题。然而，人类同步的迹象是不容忽视的
正如温弗里和藏本由纪的耦合振子模型预测的那样，当频率的散布充分减小时，系统突然跨越了相变，同步自动爆发。同步是附带心理上的代价的。虽然集体鼓掌是雷鸣般的，但是只有当鼓掌速度是平常一半时才会发生，而且集体鼓掌是一种更喧闹的掌声，必然的后果是，整段时间内总的噪声量要少于混乱鼓掌的噪声量。
在某种意义上说，观众因最佳同步与最佳噪声强度之间的权衡而感到沮丧，他们无法同时二者兼得。
这些都是更加灵活的同步形式，它们不盲目、不呆板、不野蛮、不单调。它们体现了我们乐于认同的人类所独有的品质——智能、感受性以及只有最高级别的同步才会出现的和谐。
一种更转瞬即逝的同步似乎牵涉到人类心理学中最伟大的未解之谜之一：大脑如何产生思维。科学家们在努力去理解人类思想和情感的神经基础，随着技术的进步，当一个人识别一张脸，记忆一个单词或集中注意力时，窃听他的思维成为可能。神经生物学家已经发现，这些认知行为与神经同步的短暂激增有关。
神经同步可能会提供一个解决“捆绑问题”的机制，“捆绑问题”是脑科学中一个长期存在的谜题。
问题是，你的大脑是如何搞明白所有这些神经元骚动的意义的呢？特别是，什么样的物理过程将正确的特征“捆绑”到一起，以形成对咖啡杯的统一知觉，并区别于同时发生但与之无关的感觉呢？——如摇滚音乐的声音、桌子的晃动以及所有其他混淆的感觉。
后记
每10年左右，就会有一个华而不实的理论出现，它背负着类似的愿望，而且经常伴随着一个不祥的名字。20世纪60年代是控制论，70年代是突变理论，80年代是混沌理论，到了90年代又变成了复杂性理论。在每个事例中，当时的怀疑论者都会抱怨，这些理论都有吹嘘过度之嫌，结论不是错误就是平淡无奇。听到这些话的科学家往往会一笑置之，走回实验室，继续更折磨人的还原论 实验，他们不顾自己的研究课题与相邻学科之间的联系，苦苦奋斗在宇宙中属于他们的一隅之中。
导致这些未解决的问题如此棘手的主要原因是它们分散的动力学特性，其中，海量的组件每时每刻都在不断地改变它们自身的状态，通过某种方式彼此连接，使我们无法通过检测单独的某个部分对其进行研究。在这种情况下，整体肯定不等于部分之和。与宇宙中的大多数现象一样，这些现象本质上都是非线性的。
混沌理论揭示，简单的非线性系统可以表现出极其复杂的行为方式，并向我们展示如何用图像而不是用方程式来理解它们。复杂性理论告诉我们，依据简单的规则相互作用的许多简单的单元之间可以产生意想不到的秩序。但是，复杂性理论主要的局限性在于，它没能从深刻的数学意义上阐释出秩序源自哪里，以及没有用可信服的方式将该理论与真实现象联系起来。基于这些原因，它对大多数数学家和科学家的思想都没有产生什么影响。
除了它的重要性和内在的魅力，我相信同步还给我们提供了继续研究复杂非线性系统的关键性的第一步，此时的振子终将被基因与细胞、公司与人类所取代。
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