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  题目描述

  给定一个已排序的正整数数组 nums，和一个正整数 n 。从 [1, n] 区间内选取任意个数字补充到 nums 中，使得 [1, n] 区间内的任何数字都可以用 nums 中某几个数字的和来表示。请输出满足上述要求的最少需要补充的数字个数。

  来源，leetcode 每日一题 330. 按要求补齐数组

示例：

输入: nums = [1,3], n = 6
输出: 1 
解释:
根据 nums 里现有的组合 [1], [3], [1,3]，可以得出 1, 3, 4。
现在如果我们将 2 添加到 nums 中， 组合变为: [1], [2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3]。
其和可以表示数字 1, 2, 3, 4, 5, 6，能够覆盖 [1, 6] 区间里所有的数。
所以我们最少需要添加一个数字。
输入: nums = [1,5,10], n = 20
输出: 2
解释: 我们需要添加 [2, 4]。
输入: nums = [1,2,2], n = 5
输出: 0

解题思路

1. 对于正整数 xx，如果区间 [1,x-1][1,x−1] 内的所有数字都已经被覆盖，且 xx 在数组中，则区间 [1,2x-1][1,2x−1] 内的所有数字也都被覆盖。

   对于任意 1 \le y<x1≤y<x，yy 已经被覆盖，xx 在数组中，因此 y+xy+x 也被覆盖，区间 [x+1,2x-1][x+1,2x−1]（即区间 [1,x-1][1,x−1] 内的每个数字加上 xx 之后得到的区间）内的所有数字也被覆盖，由此可得区间 [1,2x-1][1,2x−1] 内的所有数字都被覆盖。

假设数字 x 缺失，则至少需要在数组中补充一个小于或等于 x 的数，才能覆盖到 x，否则无法覆盖到 x。

如果区间 [1,x-1][1,x−1] 内的所有数字都已经被覆盖，则从贪心的角度考虑，补充 x 之后即可覆盖到 x，且满足补充的数字个数最少。在补充 x 之后，区间 [1,2x-1][1,2x−1] 内的所有数字都被覆盖，下一个缺失的数字一定不会小于 2x。

由此可以提出一个贪心的方案。每次找到未被数组 覆盖的最小的整数 xx，在数组中补充 x，然后寻找下一个未被覆盖的最小的整数，重复上述步骤直到区间 [1,n]中的所有数字都被覆盖。

具体实现方面，任何时候都应满足区间 [1,x-1][1,x−1] 内的所有数字都被覆盖。令 x 的初始值为 1，数组下标 的初始值为 0，则初始状态下区间 [1,x-1][1,x−1] 为空区间，满足区间内的所有数字都被覆盖。进行如下操作。

如果 在数组 的下标范围内且，则将 的值加给 x，并将 的值加 1。

被覆盖的区间从 [1,x-1][1,x−1] 扩展到 ，对 x 的值更新以后，被覆盖的区间为 [1,x-1][1,x−1]。
否则，x 没有被覆盖，因此需要在数组中补充 x，然后将 x 的值乘以 2。

在数组中补充 xx 之后，被覆盖的区间从 [1,x-1][1,x−1] 扩展到 [1,2x-1][1,2x−1]，对 x 的值更新以后，被覆盖的区间为 [1,x-1][1,x−1]。
重复上述操作，直到 x 的值大于 n。

代码

class Solution {
public:
    int minPatches(vector<int>& nums, int n) {
        int patches = 0;
        long long x = 1;
        int length = nums.size(), index = 0;
        while (x <= n) {
            if (index < length && nums[index] <= x) {
                x += nums[index];
                index++;
            } else {
                x <<= 1;
                patches++;
            }
        }
        return patches;
    }
};