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公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为1.618，称为黄金分割比。其倒数0.618至今在优选法中仍得到广泛应用。

近代最优化方法的形成和发展过程中最重要的事件有：

• 线性规划 - 以Dantzig为代表；
• 非线性规划 - 以Kuhn-Tucker为代表；
• 动态规划 - 以Bellman为代表；
• 极大值原理 - 以Pontriagin为代表；
• Kalman的关于随机控制系统最优滤波器等等。

最优化问题的典型实例

接下来将给出几个最优化问题的典型实例。虽然它们属于最优化问题的不同类别，但是通过对这些具体实例的探讨和总结可以把解决这些问题的描述统一到数学框架之下，即前面所说到的，在给定的约束条件下，如何在某种范围内选取一些设计变量的取值，使得一个或者多个既定目标达到最优状态。不同之处无非就是设计变量、目标函数、约束条件这三个要素的不同，而这三要素的不同也就决定了不同问题在解法上的差异。

注意：s.t. 是subject to的缩写，表示约束条件。

线性规划 - 资源利用问题

题目
某工厂生产A、B两种产品，制造1tA产品需要耗煤8t、耗电3kW、耗时2个工作日；制造1tB产品需要耗煤4t、耗电4kW、耗时9个工作日。已知制造1t产品A和B分别可以获利6000元和8000元。现在该厂原料有煤300t、电100kW，如果需要在200个工作日内生产这两种产品并达到利润最大，应当如何安排A和B的生产数量？

分析

• 设计变量：和分别代表A、B的产量，代表利润。
• 目标函数：
• 约束条件：

由此可见，目标函数和约束条件均是线性的，故这是一个典型的线性规划问题。

整数规划 - 分派问题

题目
假设某个项目由4项连续的任务构成。即完成了任务1之后才能开始任务2，完成了任务2之后才能开始任务3，以此类推；并且规定由项目组中的甲、乙、丙、丁4名成员每人完成且仅完成其中的一项任务。4个项目组成员分别完成4项任务的时间如下表所示。应该如何分配这些任务，即让哪个成员去完成哪个任务，可以使得花费的总时间最短？

分析

• 设计变量：
• 目标函数：
• 约束条件：

非线性规划 - 投资决策问题

多目标规划问题

最优化问题的数学描述