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基本运算

对于阶可逆矩阵，有：

连接运算之间的重要桥梁：若，则可逆，且

所以还可以推出：

矩阵的运算只要不交换，其他运算都好说，但是，下面三个可交换是天然成立的，不需要附加条件，即无条件成立的可交换运算：

还有一个附加条件（互为逆矩阵）成立的可交换，即有条件成立的可交换运算：

行列式

📕 注意，行列式只能取一次，再取就失效了，再取多少次都没用，因为矩阵取一次行列式运算之后结果就是一个数了，一个数相当于一阶矩阵，一阶矩阵取行列式永远规定为这个一阶矩阵本身，也就是这个数本身。

一定要区分代数余子式和余子式，注意代数余子式的正、负号，为代数余子式，为余子式，它们之间的关系为：

基本性质

性质1：行列互换，其值不变，即。

性质1表明接下来的行列式性质，只要对于行是满足的，那么对于列也是一定满足的。

性质2：行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零。

⭐ 性质3（“倍乘”性质）：行列式中某行（列）元素有公因子，则可提到行列式外面。

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和。

性质4也称为“单行（列）可拆性”。

⭐ 性质5（“互换”性质）：行列式中两行（列）互换，行列式的值反号。

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。

⭐ 性质7（“倍加”性质）：行列式中某行（列）的倍加到另一行（列），行列式的值不变。

重要的行列式

主对角线行列式（上（下）三角形行列式）：

副对角线行列式：

拉普拉斯展开式：

范德蒙德行列式：

可以理解为『高年级同学要把低年级同学欺负个遍🤣』。

矩阵

📕 注意，如果不是方阵的话，根本无『逆』可谈，也无『伴随』可谈。

相关基本定义

前面和后面所推导出的一切运算，都是从定义出发来推导的，只要掌握好定义，那么绝大部分问题都将迎刃而解。

但是要注意，对定义的使用一定不要仅局限于和这两个字母，要会做广义化，即将和替换为和。

重要性质：

逆矩阵

逆矩阵的定义：

伴随矩阵

伴随矩阵的定义：

对称矩阵

对称矩阵的定义：

正交矩阵

正交矩阵的定义：

矩阵的秩

矩阵的秩的定义：

阶梯矩阵

阶梯矩阵的定义见『阶梯形矩阵 - 维基百科，自由的百科全书』。

行阶梯型矩阵的定义简单来说就2条：

1. 若有0行，全在下方；
2. 从行上看，自左边起，出现连续0的个数自上而下严格单增。

矩阵的相似

设是两个阶方阵，若存在阶可逆矩阵，使得，则称相似于，记成。

矩阵合同

设为阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵，使得，则称与合同，记作。此时称与为合同二次型。

施密特标准正交化

施密特标准正交化又称正交规范化。

有两个线性无关向量组。

第1步 - 正交化：

第2步 - 单位化：

初等变换与初等矩阵

初等行（列）变换包括：

1. 倍乘：一个非零常数乘矩阵的某一行（列）
2. 互换：互换矩阵中某两行（列）的位置
3. 倍加：将矩阵的某一行（列）的倍加到另一行（列）

初等矩阵定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

1. 倍乘初等矩阵定义：表示单位矩阵的第行（或第列）乘以非零常数所得的初等矩阵。

1. 互换初等矩阵定义：表示单位矩阵交换第行与第行（或交换第列与第列）所得的初等矩阵。

1. 倍加初等矩阵定义：表示单位矩阵的第行的倍加到第行（或第列的倍加到第列）所得的初等矩阵。

初等矩阵的性质与重要公式：

1. 行列式：

1. 逆矩阵：

1. 『左行右列』定理：对阶矩阵进行初等行变换，相当于矩阵左乘相应的初等矩阵；同样地，对进行初等列变换，相当于矩阵右乘相应的初等矩阵。

2. 可逆矩阵一定可以经过有限次初等变换化成同阶单位矩阵。

用初等变换求逆矩阵的方法：

秩（Rank）

关于矩阵的秩，有一个非常重要的基础性质：可逆矩阵乘以任何矩阵不改变该矩阵的秩。

这个基础性质用数学语言描述就是：设是矩阵，、分别是阶、阶可逆矩阵，则

设是矩阵，是满足有关矩阵运算要求的矩阵，关于矩阵的秩，还有下面这些重要性质：

• [ ] 三秩相等，即『矩阵的秩 = 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩』

• [ ]

• [ ] - 由定义得来

• [ ] - 由定义得来

• [ ] - 这也就意味着，若未说可逆，则越乘秩越小

• [ ] - 其中，为的列数

• [ ]

• [ ] ，其中为阶方阵

• [ ]

根据秩的定义，可以总结出：

1. 若告知，则可得出结论

2. 若告知，则可得出结论『』

常用公式

下面这些公式要求记住，喝前摇一摇，考前记一记。

若分别为阶方阵，则分块对角矩阵的幂为：

当二阶矩阵（该公式仅针对二阶矩阵）可逆时，有下面公式，口诀为『主对调，副变号』：

主对角线分块矩阵（空白处为矩阵）的求逆：

副对角线分块矩阵（空白处为矩阵）的求逆：

“二阶”分块矩阵（主对角线型）求逆公式如下，口诀为『主对角线直接加逆，然后对剩下那一个，进行左乘同行，右乘同列，再添负号』：

“二阶”分块矩阵（副对角线型）求逆公式如下，口诀为『副对角线对调后加逆，然后将主对角线对调，最后同样进行左乘同行，右乘同列，再添负号』：

常用手法

设是同阶可逆方阵，常用下面这个变换：

当时，可拆成一个列向量乘以一个行向量，即：

举个例子：

向量组

线性相关的定义：对个维向量，若存在一组不全为零的数，使得

成立，则称向量组线性相关。

判别线性相关性的七大定理

主要掌握下面4个定理：

定理2：若向量组线性无关，而线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。

定理3：以少表多，多的相关。举个例子，假设向量组有4个向量，而这4个向量能把向量组表示出来，向量组有5个向量，那么向量组一定相关，不管是否相关。

定理6：若部分相关，则整体相关；若整体无关，则部分无关。

定理7：若原来无关，则延长无关；若原来相关，则缩短相关。

等价矩阵和等价向量组

注意区分等价矩阵和等价向量组。

讨论矩阵是否等价的大前提是矩阵和矩阵同型，如果、同型，则有：

讨论向量组是否等价的大前提是向量组和向量组同维，但对其中的向量个数不作要求，如果、同维则有：

重要定理

📕 两向量组，被表出的秩不大。即，如果向量组可由向量组线性表示，则。

线性方程组

讨论对象：，即个方程，个未知数。

齐次线性方程组

讨论对象：，必有零解。

有解的条件

1. 当时，即列满秩，方程组有唯一零解。

2. 当时，方程组有非零解，且有个线性无关解。

解的性质

基础解系和解的结构

基础解系为，其满足：

1. 
2. 线性无关
3. 是解

通解为：

非齐次线性方程组

讨论对象：，不一定有解。

有解否？

1. 若，则方程组无解，不用谈了。

2. 若，则方程组有解，可以继续谈：

   1. 若，方程组有唯一解。
   2. 若，则方程组有无穷多解。

解的性质和解的结构

如果是的解，则是的解。

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次一个特解，即：

两个方程组的公共解

两个方程组的公共解的含义是两个方程组的解中的交集部分（下图中的区域），只要会下面两个方法，就可以以不变应万变了。

招式一 - 硬碰硬，直接联立求解：

齐次线性方程组和的公共解是满足方程组的解，即联立求解。同理，可求与的公共解。只不过该方法对计算能力有较高要求，理论上没有什么难点。

招式二 - 化繁为简，先求基础解系：

先求出：

1. 的基础解系
2. 的基础解系

则公共解，即：

解此式，求出或，即可写出。

同解方程组

同解方程组的含义：若两个方程组和有完全相同的解，则称为同解方程组。

有：

特征值与特征向量

研究对象：

定义：

特征值的性质

当时，有：

特征向量的性质

1. 重特征值至多只有个线性无关的特征向量。

1. 若是的属于不同特征值的特征向量，则线性无关。

1. 若是的属于同一特征值的特征向量，则仍是的属于特征值的特征向量。

相似矩阵的性质

1. 若，则有：

   1. 
   2. 
      1. 
      2. 

2. 若，则、

3. 若，且可逆，则、

4. 若，则

总结

可相似对角化的两个充要条件和两个充分条件：

1. 两个充要条件：

   1. 可相似对角化 有个线性无关的特征向量

1. 可相似对角化 对应于每个重特征值都有个线性无关的特征向量

1. 两个充分条件：

   1. 有个不同的特征值 可相似对角化

   2. 为实对称矩阵 可相似对角化

以及与有关的常用矩阵的特征值和特征向量总结：

为多项式，若矩阵满足，是的任一特征值，则满足。

的特征值与相同，但特征向量不再是，要单独计算才能得出。

小结一下：

关于逆问题：

二次型

研究对象：

一定注意，二次型以及特征值与特征向量的研究对象都是方阵，而且，二次型的研究对象还是对称矩阵，一定要搞清楚大前提。

惯性定理

无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数和负向个数都是不变的，称为正惯性指数，称为负惯性指数。

二次型的秩，而且还有：

正定二次型

正定二次型的简洁定义：元二次型的标准形或规范形的系数全是正系数，则称为正定二次型，称二次型的对应矩阵为正定矩阵。

正定二次型的大前提依然是，即对称矩阵，这个大前提一定不能忘。

二次型正定的6个充要条件：

关于上面6个充要条件的补充说明：

1. 在数学中，互为充要条件是可以当定义使用的。
2. 这6个充要条件一般多用2、5、6。
3. 其中的3和4其实是一回事，3用得相对多一点。

二次型正定的2个必要条件：

1. 

2. - 这个必要条件其实就是最后一阶顺序主子式

关于正定矩阵的小结：