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基本运算
对于阶可逆矩阵
,有:
连接运算之间的重要桥梁:若,则
可逆,且
所以还可以推出:
矩阵的运算只要不交换,其他运算都好说,但是,下面三个可交换是天然成立的,不需要附加条件,即无条件成立的可交换运算:
还有一个附加条件(互为逆矩阵)成立的可交换,即有条件成立的可交换运算:
行列式
📕 注意,行列式只能取一次,再取就失效了,再取多少次都没用,因为矩阵取一次行列式运算之后结果就是一个数了,一个数相当于一阶矩阵,一阶矩阵取行列式永远规定为这个一阶矩阵本身,也就是这个数本身。
一定要区分代数余子式和余子式,注意代数余子式的正、负号,为代数余子式,
为余子式,它们之间的关系为:
基本性质
性质1:行列互换,其值不变,即。
性质1表明接下来的行列式性质,只要对于行是满足的,那么对于列也是一定满足的。
性质2:行列式中某行(列)元素全为零,则行列式为零。
⭐ 性质3(“倍乘”性质):行列式中某行(列)元素有公因子,则
可提到行列式外面。
性质4:行列式中某行(列)元素均是两个元素之和,则可拆成两个行列式之和。
性质4也称为“单行(列)可拆性”。
⭐ 性质5(“互换”性质):行列式中两行(列)互换,行列式的值反号。
性质6:行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例,则行列式为零。
⭐ 性质7(“倍加”性质):行列式中某行(列)的倍加到另一行(列),行列式的值不变。
重要的行列式
主对角线行列式(上(下)三角形行列式):
副对角线行列式:
拉普拉斯展开式:
范德蒙德行列式:
可以理解为『高年级同学要把低年级同学欺负个遍🤣』。
矩阵
📕 注意,如果不是方阵的话,根本无『逆』可谈,也无『伴随』可谈。
相关基本定义
前面和后面所推导出的一切运算,都是从定义出发来推导的,只要掌握好定义,那么绝大部分问题都将迎刃而解。
但是要注意,对定义的使用一定不要仅局限于和
这两个字母,要会做广义化,即将
和
替换为
和
。
重要性质:
逆矩阵
逆矩阵的定义:
伴随矩阵
伴随矩阵的定义:
对称矩阵
对称矩阵的定义:
正交矩阵
正交矩阵的定义:
矩阵的秩
矩阵的秩的定义:
阶梯矩阵
阶梯矩阵的定义见『阶梯形矩阵 - 维基百科,自由的百科全书』。
行阶梯型矩阵的定义简单来说就2条:
- 若有0行,全在下方;
- 从行上看,自左边起,出现连续0的个数自上而下严格单增。
矩阵的相似
设是两个
阶方阵,若存在
阶可逆矩阵
,使得
,则称
相似于
,记成
。
矩阵合同
设为
阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵
,使得
,则称
与
合同,记作
。此时称
与
为合同二次型。
施密特标准正交化
施密特标准正交化又称正交规范化。
有两个线性无关向量组。
第1步 - 正交化:
第2步 - 单位化:
初等变换与初等矩阵
初等行(列)变换包括:
- 倍乘:一个非零常数乘矩阵的某一行(列)
- 互换:互换矩阵中某两行(列)的位置
- 倍加:将矩阵的某一行(列)的
倍加到另一行(列)
初等矩阵定义:由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
- 倍乘初等矩阵定义:
表示单位矩阵
的第
行(或第
列)乘以非零常数
所得的初等矩阵。
- 互换初等矩阵定义:
表示单位矩阵
交换第
行与第
行(或交换第
列与第
列)所得的初等矩阵。
- 倍加初等矩阵定义:
表示单位矩阵
的第
行的
倍加到第
行(或第
列的
倍加到第
列)所得的初等矩阵。
初等矩阵的性质与重要公式:
- 行列式:
- 逆矩阵:
『左行右列』定理:对
阶矩阵
进行初等行变换,相当于矩阵
左乘相应的初等矩阵;同样地,对
进行初等列变换,相当于矩阵
右乘相应的初等矩阵。
可逆矩阵
一定可以经过有限次初等变换化成同阶单位矩阵
。
用初等变换求逆矩阵的方法:
秩(Rank)
关于矩阵的秩,有一个非常重要的基础性质:可逆矩阵乘以任何矩阵不改变该矩阵的秩。
这个基础性质用数学语言描述就是:设是
矩阵,
、
分别是
阶、
阶可逆矩阵,则
设是
矩阵,
是满足有关矩阵运算要求的矩阵,关于矩阵的秩,还有下面这些重要性质:
[ ] 三秩相等,即『矩阵的秩 = 矩阵的行秩 = 矩阵的列秩』
[ ]
[ ]
- 由定义得来
[ ]
- 由定义得来
[ ]
- 这也就意味着,若未说
可逆,则越乘秩越小
[ ]
- 其中,
为
的列数
[ ]
[ ]
,其中
为
阶方阵
[ ]
根据秩的定义,可以总结出:
若告知
,则可得出结论
若告知
,则可得出结论『
』
常用公式
下面这些公式要求记住,喝前摇一摇,考前记一记。
若分别为
阶方阵,则分块对角矩阵的幂为:
当二阶矩阵(该公式仅针对二阶矩阵)可逆时,有下面公式,口诀为『主对调,副变号』:
主对角线分块矩阵(空白处为矩阵)的求逆:
副对角线分块矩阵(空白处为矩阵)的求逆:
“二阶”分块矩阵(主对角线型)求逆公式如下,口诀为『主对角线直接加逆,然后对剩下那一个,进行左乘同行,右乘同列,再添负号』:
“二阶”分块矩阵(副对角线型)求逆公式如下,口诀为『副对角线对调后加逆,然后将主对角线对调,最后同样进行左乘同行,右乘同列,再添负号』:
常用手法
设是同阶可逆方阵,常用下面这个变换:
当时,
可拆成一个列向量乘以一个行向量,即:
举个例子:
向量组
线性相关的定义:对个
维向量
,若存在一组不全为零的数
,使得
成立,则称向量组线性相关。
判别线性相关性的七大定理
主要掌握下面4个定理:
定理2:若向量组线性无关,而
线性相关,则
可由
线性表示,且表示法唯一。
定理3:以少表多,多的相关。举个例子,假设向量组有4个向量,而这4个向量能把向量组
表示出来,向量组
有5个向量,那么向量组
一定相关,不管
是否相关。
定理6:若部分相关,则整体相关;若整体无关,则部分无关。
定理7:若原来无关,则延长无关;若原来相关,则缩短相关。
等价矩阵和等价向量组
注意区分等价矩阵和等价向量组。
讨论矩阵是否等价的大前提是矩阵和矩阵
同型,如果
、
同型,则有:
讨论向量组是否等价的大前提是向量组和向量组
同维,但对其中的向量个数不作要求,如果
、
同维则有:
重要定理
📕 两向量组,被表出的秩不大。即,如果向量组可由向量组
线性表示,则
。
线性方程组
讨论对象:,即
个方程,
个未知数。
齐次线性方程组
讨论对象:,必有零解。
有解的条件
当
时,即列满秩,方程组有唯一零解。
当
时,方程组有非零解,且有
个线性无关解。
解的性质
基础解系和解的结构
基础解系为,其满足:
- 线性无关
是解
通解为:
非齐次线性方程组
讨论对象:,不一定有解。
有解否?
若
,则方程组无解,不用谈了。
若
,则方程组有解,可以继续谈:
- 若
,方程组有唯一解。
- 若
,则方程组有无穷多解。
- 若
解的性质和解的结构
如果是
的解,则
是
的解。
非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次一个特解,即:
两个方程组的公共解
两个方程组的公共解的含义是两个方程组的解中的交集部分(下图中的区域),只要会下面两个方法,就可以以不变应万变了。
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招式一 - 硬碰硬,直接联立求解:
齐次线性方程组和
的公共解是满足方程组
的解,即联立求解。同理,可求
与
的公共解。只不过该方法对计算能力有较高要求,理论上没有什么难点。
招式二 - 化繁为简,先求基础解系:
先求出:
的基础解系
的基础解系
则公共解,即:
解此式,求出或
,即可写出
。
同解方程组
同解方程组的含义:若两个方程组和
有完全相同的解,则称为同解方程组。
有:
特征值与特征向量
研究对象:
定义:
特征值的性质
当时,有:
特征向量的性质
重特征值
至多只有
个线性无关的特征向量。
- 若
是
的属于不同特征值
的特征向量,则
线性无关。
- 若
是
的属于同一特征值
的特征向量,则
仍是
的属于特征值
的特征向量。
相似矩阵的性质
若
,则有:
若
,则
、
若
,且
可逆,则
、
若
,则
总结
可相似对角化的两个充要条件和两个充分条件:
两个充要条件:
可相似对角化
有
个线性无关的特征向量
可相似对角化
对应于每个
重特征值都有
个线性无关的特征向量
两个充分条件:
有
个不同的特征值
可相似对角化
为实对称矩阵
可相似对角化
以及与
有关的常用矩阵的特征值和特征向量总结:
为多项式,若矩阵
满足
,
是
的任一特征值,则
满足
。
的特征值与
相同,但特征向量不再是
,要单独计算才能得出。
小结一下:
关于逆问题:
二次型
研究对象:
一定注意,二次型以及特征值与特征向量的研究对象都是方阵,而且,二次型的研究对象还是对称矩阵,一定要搞清楚大前提。
惯性定理
无论选取什么样的可逆线性变换,将二次型化成标准形或规范形,其正项个数和负向个数
都是不变的,
称为正惯性指数,
称为负惯性指数。
二次型的秩,而且还有:
正定二次型
正定二次型的简洁定义:元二次型
的标准形或规范形的系数全是正系数,则称
为正定二次型,称二次型的对应矩阵
为正定矩阵。
正定二次型的大前提依然是,即对称矩阵,这个大前提一定不能忘。
二次型正定的6个充要条件:
关于上面6个充要条件的补充说明:
- 在数学中,互为充要条件是可以当定义使用的。
- 这6个充要条件一般多用2、5、6。
- 其中的3和4其实是一回事,3用得相对多一点。
二次型正定的2个必要条件:
- 这个必要条件其实就是最后一阶顺序主子式
关于正定矩阵的小结: