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常识

1. 可导 连续 有定义

2. 严格单调函数必有反函数。

3. 数学归纳法（主要是跟自然数挂钩）的证明分为两步：

   1. 证明当时，命题成立，即成立；
   2. 证明如果当时命题成立，可推导出当时命题也成立，即若成立，可推导出也成立，那么可以得出命题成立的结论。

函数

关于函数非常重要的7个结论（必熟稔于心，倒背如流）：

1. 若是可导的偶函数，则是奇函数。
2. 若是可导的奇函数，则是偶函数。
3. 若是可导的周期为的周期函数，则也是以为周期的周期函数。
4. 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。
5. 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。
6. 若连续函数以为周期且，则的一切原函数也以为周期。
7. 若在有限区间内可导且有界，则在内有界。
   

上面结论1~3是微分里的，4~6是积分里的。

必为奇函数。
必为偶函数。

反函数

1. 严格单调函数必有反函数，但是有反函数不一定是严格单调函数。
2. 若可导，且，则存在反函数，且，即。
3. 核心考点，见到反函数就要想到和。

极限

数列极限

定义：（语言）

函数极限

定义：

1. 语言：

1. 语言：

函数极限存在的充要条件：

1. 左极限 = 右极限：

1. 脱帽法：

函数极限的局部保号性：

1. 脱帽法：（极限大于0 函数大于0；严格不等；小于同理）

1. 戴帽法：（函数大于等于0 极限大于等于0；非严格不等；小于等于同理）

一元函数微分学

可微的判别：

1. 写增量；

2. 写线性增量（线性主部）；

1. 作极限；

2. 若，则在点处可微，否则不可微。

这么做是有数学意义的，可以检测误差是否是比更高阶的无穷小，只有得出了这个结论，我们才可以用“简单的量”来代替“复杂的量”，从而确保微分过程中产生的误差是微不足道、可以忽略不计的，这就是可微的真正含义。

一元函数积分学

重要性质

定积分的性质

以下假设所写积分均存在。

性质2（积分的线性性质）：设为常数，则。

性质3（积分的可加（拆）性）：无论的大小如何，总有。

📕 注意，对于性质2和性质3，必须要熟练掌握正运算和逆运算，即，我们常用从等式左边往右边拆，但是不要忘了，亦可以从等式右边往左边合并。

性质4（积分的保号性）：若在区间上，则有。

📕 注意，对于性质4，只要不是，必严格保号，即去掉“”中的等号。

变限积分的性质

1. 函数在上可积，则函数在上连续。
2. 函数在上连续，则函数在上可导。

周期函数

关于周期函数的积分，主要有下面2个重要结论。

若函数是以为周期的可积函数（弱条件）OR 连续函数（强条件），则对任意的实数，都有：

若连续函数以为周期，则有：
的一切原函数也以为周期
因为的一切原函数为，即：

计算之五大方法

凑微分法

换元法

分部积分法

基础公式：

基本思想：代表容易求导的部分，而代表容易积分的部分。

记忆口诀“反对幂指三”，先念的表示容易求导的类型，后念的表示容易积分的类型。

分部积分法的推广公式很重要，也很方便，见p. 112的【注】。

有理函数的积分

考前记一记，喝前摇一摇。

区间再现法

若为连续函数，则有：

区间再现法的本质还是换元法，证明方法就是令：

常微分方程

方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶，如 就是三阶微分方程。

若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解。