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常用不等式
设
为实数，则：（从几何意义去理解）
几何平均值 ≤ 算术平均值：
用拉格朗日中值定理可以证明：
三角函数
基本关系
重要公式
倍角公式：
和差公式：
数列
等差数列
首项为
，公差为
的数列：
[x] 通项公式
。[x] 前
项的和
。
等比数列
首项为
，公比为
的数列：
[x] 通项公式
。[x] 前
项的和
。
常见数列
常见数列的前
项和：
[x]
[ ]
[ ]
排列组合
排列的含义：从
个不同元素中，揪出
个不同的元素按照一定的顺序排成一列（顺序要紧），用符号
表示，排法共有
种。
排列
的计算公式：
组合的含义：从
个不同元素中，揪出
个元素并成一组（顺序不管的），用符号
表示，组法共有
种。
组合
的计算公式：
组合有性质：
栈的数学性质：
个不同的元素进栈，出栈元素不同排列的个数为
，该公式称为卡特兰（Catalan）数。
因式分解
常用公式
-
[x]
[ ]
[ ]
[x]
[ ]
-
这两个公式其实只需要记一个就好，另一个把
替换成
就可得到。
二项式定理
辅助记忆：
和
的次幂是此消彼长的关系。
杨辉三角形记忆法：
% 杨辉三角形的LaTeX代码 \begin{tikzpicture}[x=2em,y=\baselineskip] \foreach \row in {1,...,10} { \node (L-\row) at (-8,-\row) {$(a+b)^{\row}$}; \node (R-\row) at (-\row/2,-\row) {1}; \draw[line width=1pt,loosely dotted] (L-\row)--(R-\row); \pgfmathsetmacro{\val}{1}; \foreach \col in {1,...,\row} { % iterative formula : val = precval * (row-col+1)/col % (+ 0.5 to bypass rounding errors) \pgfmathtruncatemacro{\val}{\val*((\row-\col+1)/\col)+0.5}; \global\let\val=\val \node at (-\row/2+\col,-\row) {\val}; }} \end{tikzpicture}
常用极限
[ ]
[x]
常用等价无穷小
📕 常用等价无穷小使用时一般都要做广义化：比如当
时，则可将
替换为趋向于0的函数，务必灵活使用！
当
时：
当
时：
-
-
-
[ ]
[x]
[ ]
[x]
- 这是上一个的特例[ ]
[ ]
当
时：
还有一些重要且常用的等价无穷小见由泰勒展开式推导的常用等价无穷小。
泰勒展开式
关于洛必达法则的一些想法：因为洛必达法则本质上是一种由结果去推原因的工具，除非是精心凑出来的式子，否则现实生活中绝大多数式子是无法使用洛必达法则来求解的，故少用洛必达（一般最多求导一次），多考虑泰勒展开式。
记忆泰勒展开式的核心就是记住通项
，然后
即可，最后的尾巴就是记忆拉格朗日余项
（其中
介于
之间）和佩亚诺余项
的问题。
常用的泰勒公式
当
时：
-
- 偶函数，所以选择偶数项
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
由泰勒展开式推导的常用等价无穷小
可由泰勒展开式推出来的常用等价无穷小（
）：
[x]
[x]
[x]
[ ]
基本求导公式
-
（
为常数）
基本积分公式
关于积分，注意以下几点：
- 首先分析被积函数的性质，如奇偶性、周期性等等，特别是在出现了对称积分区间的情况。
- 若积分完毕后得到的原函数出现了
，不要忘记在 
后添加绝对值。 - 不定积分积完后不要忘记添加常数项
。
第1组：
第2组：
-
- 绝对值不要忘记哦~
第3组：
[x]
[ ]
第4组：
[x]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
第5组：
[x]
[ ]
第6组：
[x]
[ ]
第7组：
[x]
[ ]
第8组：
[ ]
[ ]
第8组的这两个公式其实就是互相添加一个负号的关系，所以只需要记一个就OK了。
第9组：
[ ]
[ ]
[ ]
第9组的这三个公式是真的复杂，最复杂的三个……不过这个积分公式的推导必须掌握。只能「考前记一记，喝前摇一摇」了，然后进考场了马上写在草稿纸上！
第10组：
[ ]
[ ]
[x]
[ ]
积分公式复杂的就那么几个，梳理一下逻辑就清晰了：
Ⅰ类
Ⅱ类
Ⅰ类和Ⅱ类积分公式索引 - 具体条件或推导提示见上方：
一元函数微积分相关应用
微分学应用
物理应用
速度：
加速度：
几何应用
设
二阶可导，则曲线
在其上点
处的曲率公式为：
曲率半径的计算公式为：
积分学应用
物理应用
变力沿直线做功：
抽水做功（理解万岁）：
其中，
表示水的截面积 
表示微元的体积。
（静态）水对板子的压力（理解万岁）：
几何应用 📕
“平面上的曲边梯形”的形心坐标 
的公式为：
平面曲线的弧长（理解万岁）：
- 直角坐标方程：
- 参数方程：
- 极坐标方程：
旋转曲面的表面积（基于平面曲线的弧长，理解万岁）：
- 直角坐标方程：
- 参数方程：
平行截面面积为已知的立体体积：
微分方程的物理应用
牛顿第二定律 
：
变化率问题 - 核心为「
时刻某量
对
的变化率与
时刻某量成正比」：
- 冷却定律 -「
时刻物体温度
对时间的变化率与
时刻物体和介质的温差
成正比」：
其中，负号代表
，即温度随时间的增加而降低。
- 结合「2020年的新冠疫情」- 题设总人数
，「
时刻已掌握新技术的人数
的变化率和已掌握新技术与未掌握新技术的人数之积成正比」：
其中，正号代表
，即人数随着时间的增加而增多。
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