线性规划问题的MATLAB求解方法

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George Bernard Dantzig被认为是线性规划（Linear Programming，LP）之父。

线性规划问题的MATLAB标准型为：

假设为维设计变量，且线性规划问题具有不等式约束个，等式约束个，那么：、、、均为维列向量，为维列向量，为维列向量，为维矩阵，为维矩阵。

需要注意以下两点：

1. 在该MATLAB标准型中，目的是对目标函数求极小。
2. MATLAB标准型中的不等式约束形式为“”。

MATLAB优化工具箱中求解线性规划问题的命令为 linprog ，其函数调用方法有多种形式，如下所示：

1. x = linprog(c, A, b)
2. x = linprog(c, A, b, Aeq, beq)
3. x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub)
4. x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0)
5. x = linprog(c, A, b, Aeq, beq, lb, ub, x0, options)
6. x = linprog(problem)
7. [x, fval] = linprog(...)
8. [x, fval, exitflag] = linprog(...)
9. ...

linprog 函数返回的输出参数有 x 、 fval 、 exitflag 、 lambda 和 output 。 x 为线性规划问题的最优解， fval 为线性规划问题在最优解 x 处的函数值。
输出参数 exitflag 返回的是优化函数计算终止时的状态指示，说明算法终止的原因，其取值和其代表的具体原因如下：

• 1 ：已经收敛到解 x
• 0 ：已经达到最大迭代次数限制 options.MaxIter
• -2 ：没有找到问题的可行点
• -3 ：问题无有限最优解
• -4 ：在算法执行过程中遇到了 NaN 值
• -5 ：原线性规划问题和其对偶问题均不可行
• -7 ：搜索方向变化太小，无法进一步获得更优解，说明原线性规划问题或者约束条件是病态的

输出参数 output 是一个返回优化过程中相关信息的结构变量。

如果在线性规划问题中无线性不等式约束，则可以设 A=[] 、 B=[] ，其他类似。
如果对设计变量没有上界约束，可以设置 ub(i)=Inf ，如果没有下界约束，可以设置 lb(i)=-Inf 。