416. 分割等和子集

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

  • 背包的体积为sum / 2
  • 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
  • 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。
动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义

01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
套到本题，dp[j]表示 背包总容量是j，最大可以凑成j的子集总和为dp[j]。

2. 确定递推公式

01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);

3. dp数组如何初始化

在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。

  1. // 题目中说：每个数组中的元素不会超过 100，数组的大小不会超过 200
  2. // 总和不会大于20000，背包最大只需要其中一半，所以10001大小就可以了
  3. vector<int> dp(10001, 0);

代码如下：
image.png

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        vector<int> dp(10001);
        int sum = 0;
        for(int num:nums)
            sum += num;
        if(sum%2==1)return false;
        int target = sum/2;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
            for(int j=target;j>=nums[i];j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        if(dp[target]==target)return true;
        return false;
    }
};