518. 零钱兑换 II

  1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

  1. 确定递推公式

dp[j] （考虑coins[i]的组合总和） 就是所有的dp[j - coins[i]]（不考虑coins[i]）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

  1. dp数组如何初始化

首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。
从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。
下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

  1. 确定遍历顺序

本题要求凑成总和的组合数，元素之间要求没有顺序，每个方案个数是为组合数。
那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。
我们先来看 外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
代码如下：

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int change(int amount, vector<int>& coins) {
  4.         vector<int> dp(amount+1);
  5.         dp[0]=1;
  6.         for(int coin:coins)
  7.             for(int j=coin;j<=amount;j++)
  8.             {
  9.                 dp[j] += dp[j-coin];
  10.             }
  11.         return dp[amount];
  12.     }
  13. };

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：

  1. for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
  2.     for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
  3.         if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
  4.     }
  5. }

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
可能这里很多同学还不是很理解，建议动手把这两种方案的dp数组数值变化打印出来，对比看一看！（实践出真知）

  1. 举例推导dp数组

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：
image.png
最后红色框dp[amount]为最终结果。

代码

  1. class Solution {
  2. public:
  3.     int change(int amount, vector<int>& coins) {
  4.         vector<int> dp(amount+1);
  5.         dp[0]=1;
  6.         for(int coin:coins)
  7.             for(int j=coin;j<=amount;j++)
  8.             {
  9.                 dp[j] += dp[j-coin];
  10.             }
  11.         return dp[amount];
  12.     }
  13. };