https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

一 题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1： 输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

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示例 2： 输入： 3 输出： 3 解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

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二 递归分析

这是典型的递归类问题，这类问题的核心就是数学归纳法：
当 n = 1 时，上楼梯的方式：从0阶爬1阶。
当 n = 2 时，上楼梯的方式：①从0阶（2-2）爬2阶；②从1阶（2-1）爬1阶。
当 n = 3 时，上楼梯的方式：①从1阶（3-2）爬2阶；②从2阶（3-1）爬1阶。
……
当 n = k 时，上楼梯的方式：①从k-2阶爬2阶；②从k-1阶爬1阶。
因此，要求爬上 n 阶楼梯的方式，就是求爬 n-1 阶梯的方式与爬 n-2 阶梯的方式之和。
函数就是：f(n) = f(n-1)+f(n-2)
递归方式就很显然了，递归的终结点就是 n-1 = 1 或 n-1 =2 时

三 递归解题方法-1

1. 代码

package top.black.leetcode.s0070climbStairs;
class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        return climb(n);
    }
    private int climb(int n){
        if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }
        return climb(n-1)+climb(n-2);
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        System.out.println("1阶："+solution.climbStairs(1));
        System.out.println("2阶："+solution.climbStairs(2));
        System.out.println("3阶："+solution.climbStairs(3));
        System.out.println("4阶："+solution.climbStairs(4));
        System.out.println("5阶："+solution.climbStairs(5));
        System.out.println("6阶："+solution.climbStairs(6));
    }
}

2. 存在的问题

当 n 越大时，递归的深度会越深，因此需要进行的计算次数也越多，导致当n达到一定程度时，运行的测试用例会超出时间限制。

思考：为什么会出现这样的情况？有什么地方是我们没有想到的？
再回忆递归的过程：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)；
f(n-1) = f(n-2) + f(n-3)；f (n-2) = f(n-3)+f(n-4)；
f(n-3) = f(n-4)+f(n-5)；f(n-4) = f(n-5)+f(n-6)；
……
此时我们应该要发现，在进行递归f(n)时，f(n-1) 会计算 f(n-2) 和 f(n-3) 的结果，然后又计算了一遍 f(n-2) 的结果，然后求和。然后这样树形展开下去，会发现，整个程序计算中，存在着大量的计算重复值的过程，而这些重复计算，会浪费我们大量的内存和时间，因此，需要对这部分过程进行优化。

四 递归解题方法-2优化

我们可以将已经计算好的结果存储在一个hashmap或者数组中，只有取不到值的时候，才进行计算。

1. 代码

package top.black.leetcode.s0070climbStairs;
class Solution {
    int []num ;
    public int climbStairs(int n) {
        num = new int[n+1];
        return climb(n);
    }
    private int climb(int n){
        if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }
        // 1. 先从数组中取值，看是否为0
        // 如果为0，则代表没计算过
        // 如果不为0，则直接返回取出的值
        int sum = num[n];
        if(sum>0){
            return sum;
        }
        // 计算出当前层结果
        sum = climb(n-1)+climb(n-2);
        // 存储到数组中
        num[n] = sum;
        return sum;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution solution = new Solution();
        System.out.println("1阶："+solution.climbStairs(1));
        System.out.println("2阶："+solution.climbStairs(2));
        System.out.println("3阶："+solution.climbStairs(3));
        System.out.println("4阶："+solution.climbStairs(4));
        System.out.println("5阶："+solution.climbStairs(5));
        System.out.println("6阶："+solution.climbStairs(6));
    }
}

2. 执行结果