参考1

作者：王赟 Maigo
链接：https://www.zhihu.com/question/24627666/answer/28440943
来源：知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

我来举一个核函数把低维空间映射到高维空间的例子。
下面这张图位于第一、二象限内。我们关注红色的门，以及“北京四合院”这几个字下面的紫色的字母。我们把红色的门上的点看成是“+”数据，紫色字母上的点看成是“-”数据，它们的横、纵坐标是两个特征。显然，在这个二维空间内，“+”“-”两类数据不是线性可分的。

我们现在考虑核函数，即“内积平方”。
这里面是二维空间中的两个点。
这个核函数对应着一个二维空间到三维空间的映射，它的表达式是：

可以验证，

在P这个映射下，原来二维空间中的图在三维空间中的像是这个样子：

（前后轴为x轴，左右轴为y轴，上下轴为z轴）
注意到绿色的平面可以完美地分割红色和紫色，也就是说，两类数据在三维空间中变成线性可分的了。
而三维中的这个判决边界，再映射回二维空间中是这样的：

这是一条双曲线，它不是线性的。
================================================
如上面的例子所说，核函数的作用就是隐含着一个从低维空间到高维空间的映射，而这个映射可以把低维空间中线性不可分的两类点变成线性可分的。

参考2

多项式核函数

• 业务问题：怎么分类非线性可分的样本的分类？
• 内部实现：
  

1. 对传入的样本数据点添加多项式项；
2. 新的样本数据点进行点乘，返回点乘结果；

• 多项式特征的基本原理：依靠升维使得原本线性不可分的数据线性可分；
• 升维的意义：使得原本线性不可分的数据线性可分；
• 例：
  

1. 一维特征的样本，两种类型，分布如图，线性不可分：
2. 
3. 为样本添加一个特征：x ，使得样本在二维平面内分布，此时样本在 x 轴升的分布位置不变；如图，可以线性可分：
4. 

　3）优点 / 特点

• 不需要每次都具体计算出原始样本点映射的新的无穷维度的样本点，直接使用映射后的新的样本点的点乘计算公式即可；
• 减少计算量
• 减少存储空间

1. 一般将原始样本变形，通常是将低维的样本数据变为高维数据，存储高维数据花费较多的存储空间；使用核函数，不用考虑原来样本改变后的样子，也不用存储变化后的结果，只需要直接使用变化的结果进行运算并返回运算结果即可；

• 核函数的方法和思路不是 SVM 算法特有，只要可以减少计算量和存储空间，都可以设计核函数方便运算；
• 对于比较传统的常用的机器学习算法，核函数这种技巧更多的在 SVM 算法中使用；