极大似然估计

根据结果的分布来反推一些参数的设计

别人博客的一个例子。

假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？

很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？

我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。

这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的,三十次为黑球事件的概率是P(样本结果|Model)。

如果第一次抽象的结果记为x1,第二次抽样的结果记为x2….那么样本结果为(x1,x2…..,x100)。这样，我们可以得到如下表达式：

P(样本结果|Model)

　　= P(x1,x2,…,x100|Model)

　　= P(x1|Mel)P(x2|M)…P(x100|M)

　　= p^70(1-p)^30.

好的，我们已经有了观察样本结果出现的概率表达式了。那么我们要求的模型的参数，也就是求的式中的p。

那么我们怎么来求这个p呢？

不同的p，直接导致P（样本结果|Model）的不同。

好的，我们的p实际上是有无数多种分布的。如下：

那么求出 p^70(1-p)^30为 7.8 * 10^(-31)

p的分布也可以是如下：

那么也可以求出p^70(1-p)^30为2.95* 10^(-27)

那么问题来了，既然有无数种分布可以选择，极大似然估计应该按照什么原则去选取这个分布呢？

答：采取的方法是让这个样本结果出现的可能性最大，也就是使得p^70(1-p)^30值最大，那么我们就可以看成是p的方程，求导即可！

那么既然事情已经发生了，为什么不让这个出现的结果的可能性最大呢？这也就是最大似然估计的核心。

我们想办法让观察样本出现的概率最大，转换为数学问题就是使得：

p^70(1-p)^30最大，这太简单了，未知数只有一个p，我们令其导数为0，即可求出p为70%，与我们一开始认为的70%是一致的。其中蕴含着我们的数学思想在里面。

类比到CRF的训练过程
感觉就类似的用到了这个方法

CRF里的各种参数实际上就是为了最大化正确序列的出现概率
（也对应着上文的已经观察到的70%白球的实际情况，类比就是正确的序列，这个情况可能有很多的概率分布，在参数选择里需要参数使得这个概率最大，也就是CRF的训练过程）