6、树和二叉树 - 树结构实际应用—堆排序 - 《算法与数据结构》

堆排序

数据结构树

堆排序

堆排序基本介绍

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为 O(nlogn)，它也是不稳定排序。
堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆，注意：没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。
每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆
大顶堆举例说明

对堆中的结点按层进行编号，映射到数组中就是下面这个样子：

大顶堆特点：**arr[i] >= arr[2*i+1] && arr[i] >= arr[2*i+2]** //i对应第几个节点，i从0开始编号

小顶堆举例说明

一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆

堆排序基本思想
堆排序的基本思想是：
将待排序序列构造成一个大顶堆
此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。
然后将剩余 n-1 个元素重新构造成一个堆，这样会得到 n 个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了。

堆排序步骤图解说明

要求：给一个数组 {4,6,8,5,9} , 要求使用堆排序法，将数组升序排序。

步骤一

构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。
原始的数组 [4, 6, 8, 5, 9]

假设给定无序序列结构如下

此时从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的 6 结点），从左至右，从下至上进行调整。

找到第二个非叶节点 4，由于[4,9,8]中 9 元素最大，4 和 9 交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中 6 最大，交换4 和6。

此时，就将一个无序序列构造成了一个大顶堆。

步骤二

将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

将堆顶元素 9 和末尾元素 4 进行交换

重新调整结构，使其继续满足堆定义

再将堆顶元素 8 与末尾元素 5 进行交换，得到第二大元素 8

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路：

将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;
将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素”沉”到数组末端;
重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
堆排序代码实现
给一个数组 {4,6,8,5,9} ，要求使用堆排序法，将数组升序排序。
代码实现 ```java import java.text.SimpleDateFormat; import java.util.Arrays; import java.util.Date;

public class HeapSort {

public static void main(String[] args) {
    //要求将数组进行升序排序
    //int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9};
    // 创建要给80000个的随机的数组
    int[] arr = new int[8000000];
    for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
        arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
    }
    System.out.println("排序前");
    Date data1 = new Date();
    SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
    String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
    System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
    heapSort(arr);
    Date data2 = new Date();
    String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
    System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);
    //System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(arr));
}
//编写一个堆排序的方法
public static void heapSort(int arr[]) {
    int temp = 0;
    System.out.println("堆排序!!");

// //分步完成 // adjustHeap(arr, 1, arr.length); // System.out.println(“第一次” + Arrays.toString(arr)); // 4, 9, 8, 5, 6 //
// adjustHeap(arr, 0, arr.length); // System.out.println(“第2次” + Arrays.toString(arr)); // 9,6,8,5,4

    //完成我们最终代码
    //将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
    for(int i = arr.length / 2 -1; i >=0; i--) {
        adjustHeap(arr, i, arr.length);
    }

    /*
     * 2).将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

　　 3).重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。 */ for(int j = arr.length-1;j >0; j—) { //交换 temp = arr[j]; arr[j] = arr[0]; arr[0] = temp; adjustHeap(arr, 0, j); }

    //System.out.println("数组=" + Arrays.toString(arr)); 

}

//将一个数组(二叉树), 调整成一个大顶堆
/**
 * 功能： 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆
 * 举例  int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adjustHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}
 * 如果我们再次调用  adjustHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5, 4}
 * @param arr 待调整的数组
 * @param i 表示非叶子结点在数组中索引
 * @param lenght 表示对多少个元素继续调整， length 是在逐渐的减少
 */
public  static void adjustHeap(int arr[], int i, int lenght) {

    int temp = arr[i];//先取出当前元素的值，保存在临时变量
    //开始调整
    //说明
    //1. k = i * 2 + 1 k 是 i结点的左子结点
    for(int k = i * 2 + 1; k < lenght; k = k * 2 + 1) {
        if(k+1 < lenght && arr[k] < arr[k+1]) { //说明左子结点的值小于右子结点的值
            k++; // k 指向右子结点
        }
        if(arr[k] > temp) { //如果子结点大于父结点
            arr[i] = arr[k]; //把较大的值赋给当前结点
            i = k; //!!! i 指向 k,继续循环比较
        } else {
            break;//!
        }
    }
    //当for 循环结束后，我们已经将以i 为父结点的树的最大值，放在了 最顶(局部)
    arr[i] = temp;//将temp值放到调整后的位置
}

} ```

树结构实际应用—堆排序

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堆排序基本思想

堆排序步骤图解说明

步骤一

步骤二

堆排序代码实现