数据结构 - 9、查找算法 - 《算法与数据结构》

线性查找算法
插值查找

常用的查找有四种：

1、顺序(线性)查找
2、二分查找/折半查找
3、插值查找
4、斐波那契查找

线性查找算法
有一个数列： {1,8, 10, 89, 1000, 1234} ，判断数列中是否包含此名称【顺序查找】
要求：如果找到了，就提示找到，并给出下标值。 ```java public class SeqSearch {

public static void main(String[] args) {
```
  int arr[] = { 1, 9, 11, -1, 34, 89 };// 没有顺序的数组
  int index = seqSearch(arr, -11);
  if(index == -1) {
      System.out.println("没有找到到");
  } else {
      System.out.println("找到，下标为=" + index);
  }
```
}

/**
- 这里实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回
- @param arr
- @param value
- @return */ public static int seqSearch(int[] arr, int value) { // 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标 for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
```
  if(arr[i] == value) {
      return i;
  }
```
  } return -1; }

}

<a name="SUaDt"></a>
## 二分查找算法
请对一个有序数组进行二分查找 {1,8, 10, 89, 1000, 1234}，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示"没有这个数"。
<a name="ckR8a"></a>
### 思路分析

1. 首先确定该数组的中间的下标`mid = (left + right) / 2`
2. 然后让需要查找的数 findVal 和 arr[mid] 比较

2.1 findVal > arr[mid]，说明要查找的数在mid 的右边，因此需要递归的向右查找<br />2.2 findVal < arr[mid]，说明要查找的数在mid 的左边，因此需要递归的向左查找<br />2.3  findVal == arr[mid] 说明找到，就返回<br />//什么时候需要结束递归？<br />1) 找到就结束递归 <br />2) 递归完整个数组，仍然没有找到findVal，也需要结束递归  当 left > right 就需要退出
<a name="rL5cz"></a>
### 代码实现
```java
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

//注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
public class BinarySearch {

    public static void main(String[] args) {
        //int arr[] = { 1, 8, 10, 89,1000,1000, 1234 };
        int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11, 12, 13,14,15,16,17,18,19,20 };


        //
        //        int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 1000);
        //        System.out.println("resIndex=" + resIndex);

        List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1);
        System.out.println("resIndexList=" + resIndexList);
    }

    // 二分查找算法
    /**
    * 
    * @param arr
    *            数组
    * @param left
    *            左边的索引
    * @param right
    *            右边的索引
    * @param findVal
    *            要查找的值
    * @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回 -1
    */
    public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {


        // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
        if (left > right) {
            return -1;
        }
        int mid = (left + right) / 2;
        int midVal = arr[mid];

        if (findVal > midVal) { // 向 右递归
            return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
            return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {

            return mid;
        }

    }

    //完成一个课后思考题:
    /*
    * 课后思考题： {1,8, 10, 89, 1000, 1000，1234} 当一个有序数组中，
    * 有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的 1000
    * 
    * 思路分析
    * 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
    * 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
    * 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
    * 4. 将Arraylist返回
    */

    public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {

        System.out.println("hello~");
        // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
        if (left > right) {
            return new ArrayList<Integer>();
        }
        int mid = (left + right) / 2;
        int midVal = arr[mid];

        if (findVal > midVal) { // 向 右递归
            return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);
        } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
            return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);
        } else {
            //             * 思路分析
            //             * 1. 在找到mid 索引值，不要马上返回
            //             * 2. 向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
            //             * 3. 向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
            //             * 4. 将Arraylist返回

            List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
            //向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
            int temp = mid - 1;
            while(true) {
                if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {//退出
                    break;
                }
                //否则，就temp 放入到 resIndexlist
                resIndexlist.add(temp);
                temp -= 1; //temp左移
            }
            resIndexlist.add(mid);  //

            //向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
            temp = mid + 1;
            while(true) {
                if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {//退出
                    break;
                }
                //否则，就temp 放入到 resIndexlist
                resIndexlist.add(temp);
                temp += 1; //temp右移
            }

            return resIndexlist;
        }
    }
}

插值查找

原理

插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应mid处开始查找。
将折半查找中的求mid 索引的公式，low 表示左边索引left, high表示右边索引right。
key 就是前面说的 findVal

int mid = low + (high - low) * (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]) ;/*插值索引*/对应前面的代码公式：
int mid = left + **_(_**right - left**_) _*** **_(_**findVal - arr**_[_**left**_]) _**/ **_(_**arr**_[_**right**_] _**- arr**_[_**left**_])_**
思路分析
数组 arr = [1, 2, 3, ……., 100]，假如需要查找的值1 ，使用二分查找的话，需要多次递归，才能找到1
使用插值查找算法
```
int mid = left + (right – left) * (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])
int mid = 0 + (99 - 0) * (1 - 1)/ (100 - 1) = 0 + 99 * 0 / 99 = 0
```
比如查找的值 100
```
int mid = 0 + (99 - 0) * (100 - 1) / (100 - 1) = 0 + 99 * 99 / 99 = 0 + 99 = 99
```
代码实现
```java import java.util.Arrays;

public class InsertValueSearch {

public static void main(String[] args) {

// int [] arr = new int[100]; // for(int i = 0; i < 100; i++) { // arr[i] = i + 1; // }

    int arr[] = { 1, 8, 10, 89,1000,1000, 1234 };

    int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1234);
    //int index = binarySearch(arr, 0, arr.length, 1);
    System.out.println("index = " + index);

    //System.out.println(Arrays.toString(arr));
}

public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
    System.out.println("二分查找被调用~");
    // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
    if (left > right) {
        return -1;
    }
    int mid = (left + right) / 2;
    int midVal = arr[mid];

    if (findVal > midVal) { // 向 右递归
        return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
    } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
        return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
    } else {

        return mid;
    }

}

//编写插值查找算法
//说明：插值查找算法，也要求数组是有序的
/**
 * 
 * @param arr 数组
 * @param left 左边索引
 * @param right 右边索引
 * @param findVal 查找值
 * @return 如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1
 */
public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) { 

    System.out.println("插值查找次数~~");

    //注意：findVal < arr[0]  和  findVal > arr[arr.length - 1] 必须需要
    //否则我们得到的 mid 可能越界
    if (left > right || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {
        return -1;
    }

    // 求出mid, 自适应
    int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
    int midVal = arr[mid];
    if (findVal > midVal) { // 说明应该向右边递归
        return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
    } else if (findVal < midVal) { // 说明向左递归查找
        return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
    } else {
        return mid;
    }

}

}

<a name="RxpSb"></a>
### 注意事项

1. 对于数据量较大，关键字分布比较均匀的查找表来说，采用插值查找，速度较快。
1. 关键字分布不均匀的情况下，该方法不一定比折半查找要好
<a name="n0MgB"></a>
## **斐波那契(黄金分割法)查找算法**
<a name="cXLEp"></a>
### 斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。<br />斐波那契数列{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55}，可以发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618。
<a name="nO6jI"></a>
### 斐波那契(黄金分割法)原理
**斐波那契查找**原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即**mid=low+F(k-1)-1**（F代表斐波那契数列），如下图所示<br />![image.png](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/396745/1649172476154-a21377fc-f0a0-4ddb-a9e7-539cd3a93766.png#clientId=u6df87719-b83f-4&crop=0&crop=0&crop=1&crop=1&from=paste&height=84&id=u5d6ad36b&margin=%5Bobject%20Object%5D&name=image.png&originHeight=210&originWidth=625&originalType=binary&ratio=1&rotation=0&showTitle=false&size=8686&status=done&style=none&taskId=u7b1fa4d6-990a-4ea9-b485-0ca6f44d28c&title=&width=250)<br />**对F(k-1)-1的理解：**

1. 由斐波那契数列 F[k]=F[k-1]+F[k-2] 的性质，可以得到 **（F[k]-1）=（F[k-1]-1）+（F[k-2]-1）+1 **。该式说明：只要顺序表的长度为**F[k]-1**，则可以将该表分成长度为**F[k-1]-1**和**F[k-2]-1**的两段，即如上图所示。从而中间位置为**mid=low+F(k-1)-1**
1. 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
1. 但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可。
<a name="Azfx2"></a>
### 斐波那契查找应用案例
```java
import java.util.Arrays;

public class FibonacciSearch {

    public static int maxSize = 20;
    public static void main(String[] args) {
        int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};

        System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 189));// 0

    }

    //因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    //非递归方法得到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }

    //编写斐波那契查找算法
    //使用非递归的方式编写算法
    /**
     * 
     * @param a  数组
     * @param key 我们需要查找的关键码(值)
     * @return 返回对应的下标，如果没有-1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        int k = 0; //表示斐波那契分割数值的下标
        int mid = 0; //存放mid值
        int f[] = fib(); //获取到斐波那契数列
        //获取到斐波那契分割数值的下标
        while(high > f[k] - 1) {
            k++;
        }
        //因为 f[k] 值 可能大于 a 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
        //不足的部分会使用0填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        //实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
        //举例:
        //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
        for(int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = a[high];
        }

        // 使用while来循环处理，找到我们的数 key
        while (low <= high) { // 只要这个条件满足，就可以找
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if(key < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
                high = mid - 1;
                //为甚是 k--
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //因为 前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                //即 在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
                //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
            } else if ( key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
                low = mid + 1;
                //为什么是k -=2
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
                //4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
                //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            } else { //找到
                //需要确定，返回的是哪个下标
                if(mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

9、查找算法

线性查找算法

插值查找

原理

思路分析

代码实现