不同二叉树个数I(中等)[递推动归]

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3

题解分析：
1、回顾二叉搜索树的定义与特点；
2、假设f(i)表示以i为根节点的二叉搜索树个数，则以1…n为根节点的二叉搜索树个数为G(n) = f(1) + … + f(n)
3、如果i为根节点，则其左子树的节点个数为i-1, 右子树的节点个数为n-i, 此时f(i)的个数为左二叉搜索子树和右二叉搜索子树个数的乘积，所以f(i) = G(i-1)G(n-i)
4、由以上两个公式得到：G(n) = G(0)G(n-1) + G(1)G(n-2) + … + G(n-1)G(0)
5、初始化：没有节点G(0) = f(0) = 1, 一个节点G(1) = f(0)*f(0) = 1;

int numTrees(int n) {
    vector<int> ans(n+1, 0);
    ans[0] = 1;
    ans[1] = 1;
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        for(int j=0; j<i; ++j){
            ans[i] += ans[j]*ans[i-j-1];
        }
    }
    return ans[n];
}