可行的路径数II(有障碍)【动态规划】

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

PS: 网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
说明：m 和 n 的值均不超过 100。
示例：

输入:

[

[0,0,0],

[0,1,0],

[0,0,0]

]

输出: 2

解释:

3x3 网格的正中间有一个障碍物。

从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

解决思路：动态规划，状态(路径数)之间存在关系：

int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();
        // 状态定义：numberOfPath[i][j]表示从start到达(i, j)时路径数
        long numberOfPaths[m][n];
        // 状态初始化：
        numberOfPaths[0][0] = 1;
        // 状态转移：
        /*
        1、如果(i, j)为障碍，则numberOfPaths[i][j] = 0
        2、如果(i, j)不为障碍，则numberOfPaths[i][j]的值分为三种情况：
           2.1: (i, j)位于行边界i==0; numberOfPaths[i][j] == numberOfPaths[i][j-1]
           2.2: (i, j)位于列边界j==0; numberOfPaths[i][j] == numberOfPaths[i-1][j]
           2.3：(i, j)位于其他位置; numberOfPaths[i][j] == numberOfPaths[i][j-1] + numberOfPaths[i-1][j]
        */
        for(int i=0; i<m; ++i)
        {
            for(int j=0; j<n; ++j)
            {
                if(obstacleGrid[i][j] == 1)
                    numberOfPaths[i][j] = 0;
                else
                {
                    if(i == 0 && j == 0)
                        numberOfPaths[i][j] = 1;
                    else if(i == 0)
                        numberOfPaths[i][j] = numberOfPaths[i][j-1];
                    else if(j == 0)
                        numberOfPaths[i][j] = numberOfPaths[i-1][j];
                    else
                        numberOfPaths[i][j] = numberOfPaths[i-1][j] + numberOfPaths[i][j-1];
                }
            }
        }
        return numberOfPaths[m-1][n-1];
   }

时间复杂度：O(mn);
空间复杂度： O(mn); 可以优化