keywords: 控制系统,传递函数,状态空间模型,PID 控制器,状态反馈控制器

10.1 控制系统基础

在开始学习控制系统设计之前,我们需要先了解一些基本概念。控制系统是一种能够根据预定的规则,对被控对象的行为进行控制和调节的系统。它广泛应用于工业生产、航空航天、机器人等领域。

10.1.1 控制系统的基本概念

控制系统由被控对象、执行机构、测量装置、控制器等部分组成。其基本原理如下图所示:

  1. graph LR
  2. A[被控对象] -- 输出 --> B(测量装置)
  3. B -- 反馈 --> C[控制器]
  4. C -- 控制 --> D[执行机构]
  5. D -- 作用 --> A
  • 被控对象:需要控制的对象,如电机、化工设备等。
  • 测量装置:测量被控对象的输出,将其转换为控制器可以识别的信号。
  • 控制器:根据测量信号和指令信号,产生控制信号。
  • 执行机构:接收控制信号,对被控对象施加相应的作用。

10.1.2 控制系统的分类

根据控制方式的不同,控制系统可分为:

  • 开环控制系统:没有反馈环节,控制器直接作用于被控对象。
  • 闭环控制系统:存在反馈环节,控制器根据反馈信号调节控制量。

根据控制规律的不同,控制系统可分为:

  • 线性控制系统:系统的数学模型为线性方程。
  • 非线性控制系统:系统的数学模型为非线性方程。

10.2 传递函数与状态空间模型

为了对控制系统进行分析与设计,我们需要建立系统的数学模型。传递函数和状态空间模型是两种常用的数学模型。

10.2.1 传递函数的定义

传递函数描述了线性时不变系统的输入和输出之间的关系。对于单输入单输出系统,传递函数定义为:

$ G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} $

其中,$ Y(s) $为输出的拉普拉斯变换,$ U(s) $为输入的拉普拉斯变换。

例如,一个 RC 电路的传递函数为:

$ G(s)=\frac{1}{RCs+1} $

其中,R 为电阻,C 为电容。

10.2.2 状态空间模型的定义

状态空间模型用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性。一般形式为:

$ \begin{aligned} \dot{x}(t) &= Ax(t)+Bu(t) \ y(t) &= Cx(t)+Du(t) \end{aligned} $

其中,$ x(t) $为状态变量,$ u(t) $为输入变量,$ y(t) $为输出变量,A、B、C、D 为系统矩阵。

以一个弹簧-质量-阻尼系统为例,其状态空间模型为:

$ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \ \dot{x}_2 &= -\frac{k}{m}x_1-\frac{b}{m}x_2+\frac{1}{m}u \ y &= x_1 \end{aligned} $

其中,$ x_1 $为位移,$ x_2 $为速度,k 为弹簧系数,b 为阻尼系数,m 为质量。

10.2.3 传递函数与状态空间模型的转换

传递函数和状态空间模型之间可以互相转换。以下是一些常用的转换方法。

状态空间模型转传递函数

已知状态空间模型的系统矩阵 A、B、C、D,传递函数为:

$ G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D $

其中,I 为单位矩阵。

例如,将上述弹簧-质量-阻尼系统转换为传递函数:

  1. m = 1; k = 1; b = 0.5;
  2. A = [0 1; -k/m -b/m];
  3. B = [0; 1/m];
  4. C = [1 0];
  5. D = 0;
  7. sys = ss(A,B,C,D);
  8. G = tf(sys)

输出结果为:

  1. G =
  3.      1
  4.   ———————————
  5.  s^2 + 0.5 s + 1

传递函数转状态空间模型

已知传递函数的分子多项式向量 num 和分母多项式向量 den,状态空间模型为:

$ \begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} -a1 & -a_2 & \cdots & -a{n-1} & -an \ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{bmatrix} \ B &= \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ \vdots \ 0 \end{bmatrix} \ C &= \begin{bmatrix} b_1-a_1b_0 & b_2-a_2b_0 & \cdots & b{n-1}-a_{n-1}b_0 & b_n-a_nb_0 \end{bmatrix} \ D &= b_0 \end{aligned} $

其中,$ a_i $为 den 的第 i 个元素,$ b_i $为 num 的第 i 个元素,n 为 den 的阶数。

例如,将上述传递函数转换为状态空间模型:

  1. num = [1];
  2. den = [1 0.5 1];
  4. [A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

输出结果为:

  1. A =
  3.     -0.5000   -1.0000
  4.      1.0000         0
  6. B =
  8.      1
  9.      0
  11. C =
  13.      1     0.5000
  15. D =
  17.      0

10.3 系统的时域与频域分析

10.3.1 时域分析

时域分析主要研究系统对某一输入信号的响应。常用的时域性能指标有:

  • 上升时间:响应从 10%上升到 90%所需的时间。
  • 峰值时间:响应达到第一个峰值所需的时间。
  • 超调量:响应的最大值与稳态值之差与稳态值的百分比。
  • 调节时间:响应进入并保持在稳态值附近的时间。

以单位阶跃响应为例:

  1. sys = tf(1, [1 1]);
  2. step(sys)
  3. stepinfo(sys)

输出结果为:

第 10 章 控制系统设计 - 图1

  1. ans =
  3.   struct with fields:
  5.     RiseTime: 2.1972
  6.      SettlingTime: 3.9120
  7.     SettlingMin: 0.9052
  8.     SettlingMax: 1.0948
  9.     Overshoot: 9.4755
  10.      Undershoot: 0
  11.         Peak: 1.0948
  12.       PeakTime: 4.3944

可以看出,该系统的上升时间为 2.20s,调节时间为 3.91s,超调量为 9.48%。

10.3.2 频域分析

频域分析主要研究系统对正弦输入的稳态响应。常用的频域性能指标有:

  • 幅频特性:系统输出幅值与输入幅值之比随频率的变化关系。
  • 相频特性:系统输出相位与输入相位之差随频率的变化关系。
  • 共振峰值:幅频曲线的最大值。
  • 带宽:幅频曲线最大值的$ \frac{1}{\sqrt{2}} $倍(即-3dB)处所对应的频率。

以一个二阶系统为例:

  1. sys = tf(1, [1 0.2 1]);
  2. bode(sys)

输出结果为:

第 10 章 控制系统设计 - 图2

从 Bode 图可以看出,该系统的共振峰值约为 10dB,带宽约为 1.6rad/s。

10.3.3 稳定性与瞬态响应

稳定性是指系统在有界输入下,其输出也保持有界。常用的稳定性判据有:

  • 劳斯-赫尔维茨准则:根据特征方程的系数判断。
  • 奈奎斯特准则:根据开环传递函数的奈奎斯特曲线判断。
  • 李雅普诺夫稳定性理论:构造李雅普诺夫函数判断。

瞬态响应反映了系统在初始状态下的动态特性。可以通过求解状态空间方程得到。

例如,求解一个二阶系统的单位脉冲响应:

  1. A = [-0.5 -1; 1 0];
  2. B = [1; 0];
  3. C = [1 0.5];
  4. D = 0;
  6. sys = ss(A,B,C,D);
  7. impulse(sys)

输出结果为:

第 10 章 控制系统设计 - 图3

10.4 控制器设计

控制器的作用是根据控制偏差,按照一定的控制规律,产生控制作用,使被控量达到或接近给定值。常用的控制器有 PID 控制器、状态反馈控制器、最优控制器等。

10.4.1 PID 控制器

PID 控制器由比例(P)、积分(I)、微分(D)三部分组成,控制规律为:

$ u(t) = K_pe(t)+K_i\int_0^te(\tau)d\tau+K_d\frac{de(t)}{dt} $

其中,$ K_p $、$ K_i $、$ K_d $分别为比例、积分、微分系数,$ e(t) $为控制偏差。

以一个二阶系统为例,设计 PID 控制器:

  1. sys = tf(1, [1 1 1]);
  2. Kp = 10; Ki = 5; Kd = 2;
  3. C = pid(Kp,Ki,Kd);
  5. T = feedback(C*sys, 1);
  6. step(T)

输出结果为:

第 10 章 控制系统设计 - 图4

可以看出,PID 控制器改善了系统的动态性能,使响应速度更快,超调量更小。

10.4.2 状态反馈控制器

状态反馈控制器根据状态变量的线性组合构成控制量,即:

$ u=-Kx $

其中,K 为状态反馈矩阵。状态反馈可以任意配置系统的极点,改善系统的动态性能。

以上述弹簧-质量-阻尼系统为例,设计状态反馈控制器:

  1. A = [0 1; -1 -0.5];
  2. B = [0; 1];
  3. C = [1 0];
  4. D = 0;
  6. p = [-2 -3];  % 期望极点
  7. K = place(A,B,p);  % 计算反馈矩阵
  9. sys = ss(A-B*K,B,C,D);
  10. step(sys)

输出结果为:

第 10 章 控制系统设计 - 图5

系统的极点已被配置到期望位置,阶跃响应满足性能要求。

10.4.3 最优控制器

最优控制器是使性能指标最优的控制器。常用的性能指标有:

  • 积分平方误差(ISE):$ J=\int_0^{\infty} e^2(t)dt $
  • 积分时间平方误差(ITSE):$ J=\int_0^{\infty} te^2(t)dt $
  • 积分绝对误差(IAE):$ J=\int_0^{\infty} |e(t)|dt $

线性二次型最优控制(LQR)是一种常用的最优控制方法。它使如下指标最小:

$ J=\int_0^{\infty} (x^TQx+u^TRu)dt $

其中,Q 为半正定状态加权矩阵,R 为正定控制加权矩阵。

求解 LQR 问题的 MATLAB 代码如下:

  1. A = [0 1; -1 -0.5];
  2. B = [0; 1];
  3. Q = [10 0; 0 1];
  4. R = 1;
  6. K = lqr(A,B,Q,R);  % 计算最优反馈矩阵
  8. sys = ss(A-B*K,B,C,D);
  9. step(sys)

输出结果为:

第 10 章 控制系统设计 - 图6LQR控制系统的阶跃响应

LQR 控制器在满足性能指标最优的同时,也使系统的动态响应性能得到改善。

本章小结

本章介绍了控制系统设计的基础知识和实践技巧。我们学习了:

  • 控制系统的基本概念和分类
  • 传递函数和状态空间模型的定义和转换
  • 系统的时域分析和频域分析方法
  • PID 控制器、状态反馈控制器、LQR 最优控制器的设计方法

通过本章的学习,相信你已经掌握了使用 MATLAB 进行控制系统设计与仿真的基本方法。在实际应用中,我们还需要根据具体问题,灵活选择和组合不同的控制策略。控制系统设计是一个不断优化和迭代的过程,需要我们不断学习和实践。

思考题

  1. 某直流电机的传递函数为$ G(s)=\frac{1}{s(s+1)} $,试求其单位阶跃响应的超调量和调节时间。
  2. 设计一个状态反馈控制器,使上述直流电机的极点配置为$ -2\pm2i $,并画出闭环系统的阶跃响应曲线。
  3. 对题 2 所设计的状态反馈系统,增加一个前馈控制器,使闭环系统的稳态误差为零,并比较加前馈和不加前馈时的阶跃响应。

参考文献

[1] 胡寿松. 自动控制原理(第六版). 科学出版社, 2013.

[2] Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering (5th Edition). Pearson, 2009.

[3] Richard C. Dorf. Modern Control Systems (13th Edition). Pearson, 2016.