keywords: 信号处理, 滤波器设计, 傅里叶变换, 小波变换

信号处理是 MATLAB 的一个重要应用领域。在本章中，我们将深入探讨如何使用 MATLAB 进行信号的表示、操作、滤波、变换等处理。通过学习本章内容，你将掌握信号处理的基本概念和方法，并能够运用 MATLAB 解决实际的信号处理问题。

6.1 信号的表示与操作

6.1.1 信号的基本概念

信号是随时间或空间变化的物理量，可以用数学函数或数字序列来表示。在 MATLAB 中，我们通常使用向量或矩阵来表示离散时间信号，连续时间信号则可以通过采样得到离散表示。

下面是一个简单的正弦信号的例子：

  1. t = 0:0.01:1;  % 时间向量
  2. f = 10;        % 信号频率
  3. A = 1;         % 信号幅值
  4. x = A*sin(2*pi*f*t);  % 正弦信号
  6. plot(t, x);
  7. xlabel('Time (s)');
  8. ylabel('Amplitude');
  9. title('Sinusoidal Signal');

运行上述代码，你将看到一个正弦信号的图形：

第 6 章：信号处理 - 图1

6.1.2 信号的采样与重建

连续时间信号需要通过采样转换为离散时间信号，才能在计算机中进行处理。采样过程中需要注意采样定理，即采样频率应至少为信号最高频率的两倍，以避免混叠现象的发生。

下面的代码演示了信号的采样和重建过程：

  1. t = 0:0.001:1;     % 原始信号时间向量
  2. f = 10;            % 信号频率
  3. x = sin(2*pi*f*t); % 原始信号
  5. fs = 50;           % 采样频率
  6. ts = 0:1/fs:1;     % 采样时间向量
  7. xs = sin(2*pi*f*ts); % 采样信号
  9. tr = 0:0.001:1;    % 重建时间向量
  10. xr = interp1(ts, xs, tr); % 信号重建
  12. subplot(3,1,1);
  13. plot(t, x);
  14. title('Original Signal');
  16. subplot(3,1,2);
  17. stem(ts, xs);
  18. title('Sampled Signal');
  20. subplot(3,1,3);
  21. plot(tr, xr);
  22. title('Reconstructed Signal');

运行上述代码，你将看到原始信号、采样信号和重建信号的图形：

第 6 章：信号处理 - 图2

6.1.3 信号的基本操作

MATLAB 提供了一系列函数用于对信号进行基本操作，如加减、乘除、移位、翻转等。下面是一些常用的信号操作函数：

  • +、-、*、/：信号的加减乘除运算
  • circshift()：循环移位
  • flip()：翻转信号
  • conv()：信号卷积

下面的代码演示了信号的移位和卷积操作：

  1. x = [1, 2, 3, 4, 5];  % 原始信号
  2. y = circshift(x, 2);  % 循环右移 2 个位置
  3. z = conv(x, y);       % 信号卷积
  5. subplot(3,1,1);
  6. stem(x);
  7. title('Original Signal');
  9. subplot(3,1,2);
  10. stem(y);
  11. title('Shifted Signal');
  13. subplot(3,1,3);
  14. stem(z);
  15. title('Convolved Signal');

运行上述代码，你将看到原始信号、移位信号和卷积结果的图形：

第 6 章：信号处理 - 图3

6.2 滤波器设计

6.2.1 滤波器的基本类型

滤波器是信号处理中常用的工具，用于从信号中提取所需的频率成分，或去除干扰和噪声。常见的滤波器类型包括：

  • 低通滤波器：允许低频信号通过，衰减高频信号
  • 高通滤波器：允许高频信号通过，衰减低频信号
  • 带通滤波器：允许特定频带的信号通过，衰减其他频率的信号
  • 带阻滤波器：衰减特定频带的信号，允许其他频率的信号通过

在 MATLAB 中，我们可以使用 fdesign 工具箱来设计各种类型的滤波器。

6.2.2 FIR 滤波器设计

FIR（Finite Impulse Response）滤波器是一种常用的数字滤波器，其输出只依赖于输入信号，因此具有线性相位特性。我们可以使用 fir1() 函数来设计 FIR 滤波器。

下面的代码演示了如何设计一个 50 阶的低通 FIR 滤波器：

  1. n = 50;        % 滤波器阶数
  2. fc = 0.2;      % 截止频率
  3. b = fir1(n, fc); % 设计 FIR 滤波器
  5. [h, w] = freqz(b, 1); % 计算频率响应
  7. subplot(2,1,1);
  8. plot(w/pi, 20*log10(abs(h)));
  9. title('Magnitude Response');
  10. xlabel('Normalized Frequency');
  11. ylabel('Magnitude (dB)');
  13. subplot(2,1,2);
  14. plot(w/pi, unwrap(angle(h)));
  15. title('Phase Response');
  16. xlabel('Normalized Frequency');
  17. ylabel('Phase (rad)');

运行上述代码，你将看到设计的 FIR 滤波器的幅频响应和相频响应：

第 6 章：信号处理 - 图4

6.2.3 IIR 滤波器设计

IIR（Infinite Impulse Response）滤波器是另一种常用的数字滤波器，其输出不仅依赖于输入信号，还依赖于过去的输出值。与 FIR 滤波器相比，IIR 滤波器可以用更低的阶数实现相同的滤波性能。

在 MATLAB 中，我们可以使用 butter()、cheby1()、cheby2()、ellip() 等函数来设计 IIR 滤波器。下面的代码演示了如何设计一个 5 阶的巴特沃斯低通 IIR 滤波器：

  1. n = 5;         % 滤波器阶数
  2. fc = 0.2;      % 截止频率
  3. [b, a] = butter(n, fc); % 设计巴特沃斯 IIR 滤波器
  5. [h, w] = freqz(b, a); % 计算频率响应
  7. subplot(2,1,1);
  8. plot(w/pi, 20*log10(abs(h)));
  9. title('Magnitude Response');
  10. xlabel('Normalized Frequency');
  11. ylabel('Magnitude (dB)');
  13. subplot(2,1,2);
  14. plot(w/pi, unwrap(angle(h)));
  15. title('Phase Response');
  16. xlabel('Normalized Frequency');
  17. ylabel('Phase (rad)');

运行上述代码，你将看到设计的巴特沃斯 IIR 滤波器的幅频响应和相频响应：

第 6 章：信号处理 - 图5

6.3 傅里叶变换

6.3.1 傅里叶变换的基本原理

傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它将时域信号转换为频域信号，揭示了信号的频率成分。对于连续时间信号，我们使用连续时间傅里叶变换（CTFT）；对于离散时间信号，我们使用离散时间傅里叶变换（DTFT）。

在 MATLAB 中，我们可以使用 fft() 函数计算离散傅里叶变换（DFT），使用 ifft() 函数计算逆离散傅里叶变换（IDFT）。

6.3.2 离散傅里叶变换（DFT）

下面的代码演示了如何使用 MATLAB 计算信号的 DFT：

  1. fs = 1000;     % 采样频率
  2. t = 0:1/fs:1;  % 时间向量
  3. f1 = 50;       % 第一个正弦信号频率
  4. f2 = 120;      % 第二个正弦信号频率
  5. x = sin(2*pi*f1*t) + 0.5*sin(2*pi*f2*t); % 原始信号
  7. N = length(x); % 信号长度
  8. X = fft(x);    % 计算 DFT
  9. f = (0:N-1)*(fs/N); % 频率向量
  11. subplot(2,1,1);
  12. plot(t, x);
  13. title('Original Signal');
  14. xlabel('Time (s)');
  15. ylabel('Amplitude');
  17. subplot(2,1,2);
  18. plot(f, abs(X));
  19. title('Frequency Spectrum');
  20. xlabel('Frequency (Hz)');
  21. ylabel('Magnitude');

运行上述代码，你将看到原始信号和它的频谱图：

第 6 章：信号处理 - 图6

6.3.3 快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算 DFT 的算法，它利用了 DFT 的对称性和周期性，大大减少了计算量。在 MATLAB 中，fft() 函数实际上就是使用 FFT 算法计算 DFT。

下面的代码演示了如何使用 FFT 对信号进行频谱分析：

  1. fs = 1000;     % 采样频率
  2. t = 0:1/fs:1;  % 时间向量
  3. f1 = 50;       % 第一个正弦信号频率
  4. f2 = 120;      % 第二个正弦信号频率
  5. x = sin(2*pi*f1*t) + 0.5*sin(2*pi*f2*t); % 原始信号
  7. N = length(x);   % 信号长度
  8. X = fft(x, N);   % 计算 N 点 FFT
  9. f = (0:N-1)*(fs/N); % 频率向量
  11. subplot(2,1,1);
  12. plot(t, x);
  13. title('Original Signal');
  14. xlabel('Time (s)');
  15. ylabel('Amplitude');
  17. subplot(2,1,2);
  18. plot(f, abs(X));
  19. title('Frequency Spectrum (FFT)');
  20. xlabel('Frequency (Hz)');
  21. ylabel('Magnitude');

运行上述代码，你将看到使用 FFT 得到的信号频谱图：

第 6 章：信号处理 - 图7

6.4 小波变换

6.4.1 小波变换的基本原理

小波变换是另一种重要的信号处理工具，它通过缩放和平移一个母小波函数，得到一组基函数，然后用这些基函数来表示信号。与傅里叶变换相比，小波变换能够同时提供信号的时间和频率信息，因此特别适合分析非平稳信号。

在 MATLAB 中，我们可以使用 Wavelet Toolbox 进行小波变换分析。

6.4.2 连续小波变换（CWT）

连续小波变换（CWT）将信号与一组连续的小波基函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的小波系数。下面的代码演示了如何使用 MATLAB 计算信号的 CWT：

  1. fs = 1000;     % 采样频率
  2. t = 0:1/fs:1;  % 时间向量
  3. f1 = 30;       % 第一个正弦信号频率
  4. f2 = 60;       % 第二个正弦信号频率
  5. x = sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t); % 原始信号
  7. wavename = 'cmor3-3'; % 选择小波函数
  8. scales = 1:100;       % 尺度向量
  9. coefs = cwt(x, scales, wavename); % 计算 CWT 系数
  11. subplot(2,1,1);
  12. plot(t, x);
  13. title('Original Signal');
  14. xlabel('Time (s)');
  15. ylabel('Amplitude');
  17. subplot(2,1,2);
  18. imagesc(t, scales, abs(coefs));
  19. title('Continuous Wavelet Transform');
  20. xlabel('Time (s)');
  21. ylabel('Scales');

运行上述代码，你将看到原始信号和它的 CWT 结果：

第 6 章：信号处理 - 图8

6.4.3 离散小波变换（DWT）

离散小波变换（DWT）通过对信号进行多尺度分解，得到一组离散的小波系数。DWT 常用于信号压缩、去噪和特征提取等领域。下面的代码演示了如何使用 MATLAB 计算信号的 DWT：

  1. fs = 1000;     % 采样频率
  2. t = 0:1/fs:1;  % 时间向量
  3. f1 = 30;       % 第一个正弦信号频率
  4. f2 = 60;       % 第二个正弦信号频率
  5. x = sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t); % 原始信号
  7. wavename = 'db4'; % 选择小波函数
  8. level = 4;        % 分解层数
  9. [c, l] = wavedec(x, level, wavename); % 计算 DWT 系数
  11. a4 = wrcoef('a', c, l, wavename, 4); % 第 4 层近似系数
  12. d4 = wrcoef('d', c, l, wavename, 4); % 第 4 层细节系数
  13. d3 = wrcoef('d', c, l, wavename, 3); % 第 3 层细节系数
  14. d2 = wrcoef('d', c, l, wavename, 2); % 第 2 层细节系数
  15. d1 = wrcoef('d', c, l, wavename, 1); % 第 1 层细节系数
  17. subplot(6,1,1);
  18. plot(t, x);
  19. title('Original Signal');
  20. xlabel('Time (s)');
  21. ylabel('Amplitude');
  23. subplot(6,1,2);
  24. plot(t, a4);
  25. title('Approximation Coefficients (Level 4)');
  26. xlabel('Time (s)');
  27. ylabel('Amplitude');
  29. subplot(6,1,3);
  30. plot(t, d4);
  31. title('Detail Coefficients (Level 4)');
  32. xlabel('Time (s)');
  33. ylabel('Amplitude');
  35. subplot(6,1,4);
  36. plot(t, d3);
  37. title('Detail Coefficients (Level 3)');
  38. xlabel('Time (s)');
  39. ylabel('Amplitude');
  41. subplot(6,1,5);
  42. plot(t, d2);
  43. title('Detail Coefficients (Level 2)');
  44. xlabel('Time (s)');
  45. ylabel('Amplitude');
  47. subplot(6,1,6);
  48. plot(t, d1);
  49. title('Detail Coefficients (Level 1)');
  50. xlabel('Time (s)');
  51. ylabel('Amplitude');

运行上述代码，你将看到原始信号和它的 DWT 分解结果：

第 6 章：信号处理 - 图9

使用 DWT，我们可以将信号分解为不同尺度的近似系数和细节系数，这为进一步的信号分析和处理提供了便利。

本章小结

在本章中，我们深入探讨了 MATLAB 在信号处理领域的应用。我们学习了如何表示和操作信号，如何设计 FIR 和 IIR 滤波器，以及如何使用傅里叶变换和小波变换分析信号的频率特性。通过本章的学习，你应该掌握了以下内容：

  • 信号的采样、量化和编码
  • 信号的时域和频域表示
  • FIR 和 IIR 滤波器的设计方法
  • 傅里叶变换的基本原理和应用
  • 小波变换的基本原理和应用

信号处理是一个广泛而深入的领域，还有许多有趣的话题值得探索，如自适应滤波、信号检测、时频分析等。希望本章的内容能够激发你进一步学习的兴趣，掌握更多的信号处理知识和技能。

在下一章中，我们将讨论 MATLAB 在图像处理领域的应用，敬请期待！