layout: posttitle: LeetCode 从滑动窗口到初级动态规划解决一类题
subtitle: LeetCode 从滑动窗口到初级动态规划解决一类题
date: 2020-12-23
author: he xiaodong
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- LeetCode 01.05
- 字符串比较

剑指 Offer 57 - II. 和为s的连续正数序列

输入一个正整数 target ，输出所有和为 target 的连续正整数序列（至少含有两个数）。

序列内的数字由小到大排列，不同序列按照首个数字从小到大排列。

示例 1：

  1. 输入：target = 9
  2. 输出：[[2,3,4],[4,5]]

示例 2：

  1. 输入：target = 15
  2. 输出：[[1,2,3,4,5],[4,5,6],[7,8]]

限制：

1 <= target <= 10^5

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/he-wei-sde-lian-xu-zheng-shu-xu-lie-lcof

解题思路

经典滑动窗口，直接限制最多滑到一半，能省很多计算。

代码实现：

  1. class Solution {
  3.     /**
  4.      * @param Integer $target
  5.      * @return Integer[][]
  6.      */
  7.     function findContinuousSequence($target) {
  8.         $i = 1;
  9.         $j = 2;
  10.         $result = [];
  12.         # 滑动窗口的右边界不能超过 target 的中值
  14.         while ($j <= $target / 2 + 1) {
  15.             # 计算当前窗口内数字之和
  17.             $curSum = array_sum(range($i, $j + 1));
  19.             # 若和小于目标，右指针向右移动，扩大窗口
  21.             if ($curSum < $target) {
  22.                 $j++;
  23.                 # 若和大于目标，左指针向右移动，减小窗口
  25.             } elseif ($curSum > $target) {
  26.                 $i++;
  27.             }
  28.             # 相等就把指针形成的窗口添加进输出列表中
  29.             # 别忘了，这里还要继续扩大寻找下一个可能的窗口
  31.             else {
  32.                 $result[] = range($i, $j + 1);
  33.                 # 这里用j+=1，i+=1，i+=2都可以的
  35.                 $j++;
  36.             }
  37.         }
  39.         return $result;
  40.     }
  41. }

剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

  1. 输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
  2. 输出: 6
  3. 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof

解题思路 1

继续滑动窗口，比当前最大值大则右移指针，比当前最大值小则左指针开始收缩。

代码实现：

  1. class Solution {
  3.     /**
  4.      * @param Integer[] $nums
  5.      * @return Integer
  6.      */
  7.     function maxSubArray($nums) {
  8.         //sum 用于记录滑动窗口中所有数的和
  10.         $sum = 0; $left = 0; $result = PHP_INT_MIN;
  11.         $count = count($nums);
  12.         for ($right = 0; $right < $count; $right++) {
  13.             $sum += $nums[$right];
  14.             //每次右指针移动一格，就需要比较一次
  16.             $result = max($result, $sum);
  17.             //注意这里当 left==right 时，left 指针也要移
  19.             while ($left <= $right && $sum <= 0) {
  20.                 $sum -= $nums[$left];
  21.                 $left++;
  22.             }
  23.         }
  25.         return $result;
  26.     }
  27. }

解题思路2 动态规划

动态规划解法：
首先定义看给出的大问题是否能拆分成小问题，最直接的就是一些数组中求性质，可以看成一个个更小的数组所构成的小问题。这些小问题构成了了一个个小状态，要想清楚怎么从这些小状态走到大状态，进而解决大问题（这就是状态转移方程）。核心是：
○ 如何抽象，定义状态dp[i]
○ 状态转移方程的确定 dp[i]如何从之前的状态得到
○ 初始的一些状态是可以看出来的比如dp[0],dp[1]

代码实现：

  1. class Solution {
  3.     /**
  4.      * @param Integer[] $nums
  5.      * @return Integer
  6.      */
  7.     function maxSubArray($nums) {
  8.         $count = count($nums);
  9.         if ($count === 0) {
  10.             return 0;
  11.         }
  13.         $dp = $nums[0];
  14.         $max = $nums[0];
  15.         for ($i = 1;$i < $count; $i++) {
  16.             $dp = max($dp + $nums[$i], $nums[$i]);
  17.             $max = max($max, $dp);
  18.         }
  20.         return $max;
  21.     }
  22. }

上题可以引申出：买卖股票的最佳时机 Ⅰ： https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/ 和上面的类似，股价变化 [7,1,5,3,6,4] 可以转化成 [-6, 4, -2, 3, -2]，买入和卖出一次，可以转换成求连续子数组的最大和

代入一个 多个子序列最大和 的问题，例如 给定一个整数数组 nums ，找到一个或多个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和，若最大和小于0，则返回 0
○ 示例：[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
○ 输出：12
○ 解释：连续子数组 [1]，[4]，[2,1]，[4] 的和最大，为 12。
实际上是这道题是从数组中取所有的正数，累加的结果就是最大和

继续引申出另一个类似问题：

122. 买卖股票的最佳时机 II

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

  1. 输入: [7,1,5,3,6,4]
  2. 输出: 7
  3. 解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
  4.      随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2:

  1. 输入: [1,2,3,4,5]
  2. 输出: 4
  3. 解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
  4.      注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
  5.      因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:

  1. 输入: [7,6,4,3,1]
  2. 输出: 0
  3. 解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii

代码实现：

  1. class Solution {
  3.     /**
  4.      * @param Integer[] $prices
  5.      * @return Integer
  6.      */
  7.     function maxProfit($prices) {
  8.         $ans = 0;
  9.         $count = count($prices);
  10.         for ($i = 1; $i < $count; $i++) {
  11.             if ($prices[$i] - $prices[$i-1] > 0) {
  12.                 $ans += $prices[$i] - $prices[$i - 1];
  13.             }
  14.         }
  16.         return $ans;
  17.     }
  18. }

参考链接：

  1. 极客时间 算法面试通关40讲

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