第九题 变态跳台阶

题目

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

方法一

一、分析

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
…
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：
1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的 跳法数。
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + … + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2)
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
可以得出：
f(n) = 2f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：
| 1 ,(n=0 )
f(n) = | 1 ,(n=1 )
| 2f(n-1),(n>=2)

二、代码

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if (target <= 0) {
            return -1;
        } else if (target == 1) {
            return 1;
        } else {
            return 2 * JumpFloorII(target - 1);
        }
    }
}

方法二

一、分析

（1）假定第一次跳的是一阶，那么剩下的是n-1个台阶，跳法是f(n-1)；假定第一次跳的是2阶，那么剩下的是n-2个台阶，跳法是f(n-2)；假定第一次跳的是3阶，那么剩下的是n-3个台阶，跳法是f(n-3)……假定第一次跳的是n-1阶，那么剩下的是1个台阶，跳法是f(1)； 假定第一次跳的是n阶，那么剩下的是0个台阶，跳法是1种；

  （2）总跳法为: f(n) = 1+f(n-1) + f(n-2)+....+f(1)  （第一个1是跳n阶只有一种方法）

  （3）根据（2）可以得出有一阶的时候 f(1) = 1 ；有两阶的时候可以有 f(2) =
        1+f(1)=2；有三阶的时候可以有 f(3) = 1+f(2)+f(1)=4...依次内推，有n阶时f(n)=2^(n-1)。<br />为了加快运算速度，可以通过向左移移位来完成乘以2的工作：

二、代码

class Solution{
public:
    int jumpFloorII(int number) {
        //通过移位计算2的次方
        return 1<<(number-1);        
    }
};