2019年東京大学理科学力測試题目 - 《微积分笔记》

下题是2019年東京大学理科学力測試第六題。此处与原题陈述略有不同

已知 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图1$ 是实数，方程 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图2$ 有四个互不相同的根 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图3$ . 已知 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图4$ 是纯虚数.

(1)求证： $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图5$ 中有两个是实数，另外两个是一对共轭复数.

(2)用 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图6$ 表示 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图7$ .

(3)在复平面上画出 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图8$ 的取值范围.

解答：

(1)证明：原方程是所有系数都是实数，所以其复根会共轭成对出现. 显然 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图9$ 不可能都是实数，因为 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图10$ 是纯虚数. 下证 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图11$ 不可能是两对共轭复数.
用反证法：先设 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图12$ . 则 2019年東京大学理科学力測試题目 - 图13 一定是实数；
同理如果 2019年東京大学理科学力測試题目 - 图14 ,则 2019年東京大学理科学力測試题目 - 图15 仍是实数。
从而 2019年東京大学理科学力測試题目 - 图16 不可能是两对共轭复数。

(2) 由(1)，如果设 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图17$ , 则 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图18$ 是实数，与题设矛盾。所以 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图19$ 是一对共轭复根， $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图20$ 是两个实根. 记 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图21$ . 此时 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图22$ c%20%2B(%5Cbeta%20-%20%5Cdelta)%20di#card=math&code=%5Calpha%20%5Cbeta%20%2B%20%5Cgamma%20%5Cdelta%20%3D%20%28%5Cbeta%20%2B%20%5Cdelta%29c%20%2B%28%5Cbeta%20-%20%5Cdelta%29%20di&id=hpfKx) 是纯虚数，由此知 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图23$ %3D0#card=math&code=c%28%5Cbeta%2B%5Cdelta%29%3D0&id=x25wI).

展开 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图24$ (z-%5Cdelta)(z-%5Calpha)(z-%5Cbar%7B%5Calpha%7D)%20%3D%20(z-%5Cbeta)(z-%5Cdelta)%5B(z-c)%5E2%2Bd%5E2%5D%3D0#card=math&code=%28z-%5Cbeta%29%28z-%5Cdelta%29%28z-%5Calpha%29%28z-%5Cbar%7B%5Calpha%7D%29%20%3D%20%28z-%5Cbeta%29%28z-%5Cdelta%29%5B%28z-c%29%5E2%2Bd%5E2%5D%3D0&id=Uy50S), 与原方程 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图25$ 比较系数，并用 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图26$ %3D0#card=math&code=c%28%5Cbeta%2B%5Cdelta%29%3D0&id=iLxnm)化简. 分 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图27$ 与 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图28$ 讨论，都会得出 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图29$ .

具体而言，如果是 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图30$ , 则 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图31$ #card=math&code=%5Calpha%20%3D%20di%20%3D%20-%5Cgamma%5C%3B%20%28d%5Cneq%200%29&id=zy6zM). 比较系数会得到 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图32$ %3D2a%2C%20%5Cbeta%20%5Cdelta%20d%5E2%20%3D%20b#card=math&code=%5Cbeta%2B%5Cdelta%20%3D%202%2C%20%5Cbeta%20%5Cdelta%20%2B%20d%5E2%3D0%3B%20d%5E2%28%5Cbeta%2B%5Cdelta%29%3D2a%2C%20%5Cbeta%20%5Cdelta%20d%5E2%20%3D%20b&id=n9rbl). 由最后三个式子得到 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图33$ .

同理，如果是 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图34$ , 比较系数可知 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图35$ %2C%20%5Cbeta%5E2%20%3D%201%2Bd%5E2%20%3D%20%7C%5Calpha%7C%5E2#card=math&code=c%3D1%2C%20a%3D-%5Cbeta%5E2%2C%20b%3D-%5Cbeta%5E2%281%2Bd%5E2%29%2C%20%5Cbeta%5E2%20%3D%201%2Bd%5E2%20%3D%20%7C%5Calpha%7C%5E2&id=nDHU0). 同样可得 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图36$ .

(3) 注意 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图37$ %2Bdi#card=math&code=%5Calpha%20%2B%20%5Cbeta%20%3D%20%28c%2B%5Cbeta%29%2Bdi&id=yKfvC). 由(2)可知，如果是 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图38$ , 则由 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图39$ 消去 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图40$ ，得到 2019年東京大学理科学力測試题目 - 图41 , 即 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图42$ %5E2%3D-1%5C%3B%20(d%5Cneq%200)#card=math&code=d%5E2-%20%28%5Cbeta-1%29%5E2%3D-1%5C%3B%20%28d%5Cneq%200%29&id=t47GY).
这表明 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图43$ 的轨迹是双曲线 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图44$ %5E2-Y%5E2%3D1%2C%20Y%5Cneq%200#card=math&code=%28X-1%29%5E2-Y%5E2%3D1%2C%20Y%5Cneq%200&id=Ub1eg).

同样地，如果是 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图45$ , 则 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图46$ .
这表明 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图47$ %2Bdi#card=math&code=%5Calpha%2B%5Cbeta%20%3D%20%281%2B%5Cbeta%29%2Bdi&id=gjEFQ)是双曲线 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图48$ %5E2-Y%5E2%3D1%2C%20Y%5Cneq%200#card=math&code=%28X-1%29%5E2-Y%5E2%3D1%2C%20Y%5Cneq%200&id=FgNhf).

注：分类讨论後得到相同的答案。知乎上有详细答案https://zhuanlan.zhihu.com/p/78967934。下面有网友跟帖，指出因为此题与对称多项式有关。下面介绍该网友解答。详言之，设 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图49$ 表示四个根 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图50$ 的 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图51$ 次对称多项式，即
2019年東京大学理科学力測試题目 - 图52
由多项式的根与系数的关系（韦达定理），知道

$2019年東京大学理科学力測試题目 - 图53$ .

再令 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图54$ . 直接计算可知
2019年東京大学理科学力測試题目 - 图55 .
这表明 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图56$ 满足
$2019年東京大学理科学力測試题目 - 图57$ j-4(b%2Ba%5E2)%3D0#card=math&code=j%5E3%2B4%28a-b%29j-4%28b%2Ba%5E2%29%3D0&id=POTqv).
但 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图58$ 是纯虚数，所以上式实部为零，即 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图59$ .

最后，为求 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图60$ 的轨迹，由于 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图61$ , 而 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图62$ (%5Cgamma%2B%5Cdelta)%20%3D%20(%5Calpha%2B%5Cbeta)(2-%5Calpha-%5Cbeta)%20%3D%20%5Calpha%5Cgamma%2B%5Calpha%5Cdelta%20%2B%20%5Cbeta%20%5Cgamma%20%2B%20%5Cbeta%5Cdelta%20%3D%20%5Csigma_2%20-%20j%3D-j#card=math&code=%28%5Calpha%2B%5Cbeta%29%28%5Cgamma%2B%5Cdelta%29%20%3D%20%28%5Calpha%2B%5Cbeta%29%282-%5Calpha-%5Cbeta%29%20%3D%20%5Calpha%5Cgamma%2B%5Calpha%5Cdelta%20%2B%20%5Cbeta%20%5Cgamma%20%2B%20%5Cbeta%5Cdelta%20%3D%20%5Csigma_2%20-%20j%3D-j&id=EQmTr)
是纯虚数. 如果设 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图63$ #card=math&code=%5Calpha%2B%5Cbeta%20%3D%20X%2BiY%5C%2C%20%28Y%5Cneq%200%29&id=RJxnb), 则 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图64$ (2-X-iY)#card=math&code=%28X%2BiY%29%282-X-iY%29&id=Z0jVL)的实部 $2019年東京大学理科学力測試题目 - 图65$ %2BY%5E2%3D0%20%5C%2C%20(Y%5Cneq%200)#card=math&code=X%282-X%29%2BY%5E2%3D0%20%5C%2C%20%28Y%5Cneq%200%29&id=nRU7B). 此即为所求的轨迹.