微积分B-I, 10月12日

微积分B-I，10月12日

初等函数
我们把幂函数，指数、对数，三角与反三角函数，共五种函数，称为基本初等函数。
由基本初等函数，有限次地作五种运算（加减乘除，以及函数的复合），得到的函数，都称为初等函数。
定理：初等函数在它的定义域上的每一个开区间，都是连续的。

不连续的函数. 先看
例：

1. 反比例函数1/x 定义域是. 在x=0，该函数没有定义，从函数图象上看，反比例函数的图像有两个分支，在原点附近，这两个分支不靠近;

2. 符号函数 sgn(x) = 1, if x>=0; sgn(x)=-1, if x<0.

   (注意：课本上符号函数的定义略有不同，不必深究，因为的确有不同的约定。)

3. f(x)=x, if x is not 0; f(0)=1.

解释：

1. 在所考察的点处，函数没有定义，或者函数的极限不存在；例如，sin(1/x)在x=0，没有定义，极限也不存在. 反比例函数1/x也是这样。

无穷间断点(infinite discontinuity)是其中一种，
即极限(或)，例如反比例函数1/x.

注意：与反比例函数1/x不同， |sin(1/x)|不超过1, 所以x=0不是sin(1/x)的无穷间断点.

1. 跳跃间断点；(jump discontinuity)
   即：左极限与 右极限都存在（所以都是有限实数），但是左、右极限不相等.
   例如符号函数在原点的左右极限分别是-1与1，所以原点是符号函数的跳跃间断点。
2. 可去间断点. (removable discontinuity)
   即：极限存在，但是不等于. 例如上面第3个例子的函数，该函数在原点的极限是0，但是该函数在原点的值等于1.

结论：函数的不连续点，只有上述三种类型（甚至不必要求函数在该点有定义）。反之，并且上述三种情况都不出现，那么函数在那个点，必定连续。

谈函数连续性的逻辑顺序：
我们研究一个给定的函数f(x)，在一个给定的点a那里，是不是连续的。如果连续，称f(x)在点a连续，否则称f(x)在点a 不连续，也说a是f(x)的间断点.

如果a是f(x)间断点，要能分辨是何种间断点。
注意：给定一个函数f(x),先确定其定义域。如果点a不在f(x)的定义域中，显然f(x)在点a不连续。但此时仍可以研究点a是f(x)的哪一种间断点。例如a=0是 1/x的无穷间断点, 又是sin(1/x)的 振荡/震荡间断点。

连续函数是指在它的定义域上每一点都连续的函数。

例：反比例函数1/x的定义域是. 对任意的, 1/x 在x=a都连续，所以反比例函数在它的定义域上连续，更准确地说，是1/x在它的定义域的每一个开区间都连续。这与最开始提到的定理吻合（因为反比例函数也是初等函数）。此外，0是1/x的无穷间断点。

单边极限 （one-sided limit）

给定函数f(x), 定点a, 实数L，设f(x)在点a左边一个小范围内有定义。
假如当x从a的左边向a靠近时，
f(x)的值趋向于L,则称L是f(x)在点a处的左极限 (limit from the left)。记号：
例：, a=10, L=100
= 5, 9, 9.9, 9.9999,…
= 25, 81, 98.01, 99.99800001,…
越来越接近L=100.

类似可以定义右极限. (limit from the right).

定理：给定函数f(x), 定点a, 实数L，设f(x)在点a两边附近一个小范围内有定义。
如果左右极限都存在且相等，即 ,
那么f(x)在点a有极限，且极限值就是.