定积分的几何意义

1. 单变量连续函数#card=math&code=f%28x%29&id=mohCY)在上的积分%5Cmathrm%7Bd%7Dx#card=math&code=%5Cint_a%5Eb%20f%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx&id=oPPus), 等于由为底边，由#card=math&code=y%3D0%2C%20y%3Df%28x%29&id=D12P9)为腰的曲边梯形的代数面积(即：如果梯形有在之下的部分，那么积分的值等于梯形在之上的部分的面积，减去这部分的面积).
2. 两个自变量的连续函数#card=math&code=f%28x%2Cy%29&id=Rryc0)在区域 (落在平面上，即平面) 上的积分%5Cmathrm%7Bd%7D%5Csigma#card=math&code=%5Ciint_D%20f%28x%2Cy%29%5Cmathrm%7Bd%7D%5Csigma&id=hJpQL)，等于通过 且母线平行于轴的柱面，与平面z=0和曲面#card=math&code=z%3Df%28x%2C%20y%29&id=nyQBr)分别相交，所得到的曲顶柱体的代数体积. (此处”代数体积”类似1中”代数面积”)
3. 更一般，个自变量的连续函数#card=math&code=f%28x1%2C%20%5Cldots%2C%20x_n%29&id=cUYLk)在区域 ( 落在 这个空间之中)上的积分%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Comega%2C#card=math&code=%5Cint%20%5Ccdots%20%5Cint%7B%5COmega%7D%20f%28x_1%2C%20%5Cldots%2C%20x_n%29%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Comega%2C&id=VyLBL) 等于通过且母线平行于轴的%22%20aria-hidden%3D%22true%22%3E%0A%20%3Cuse%20xlink%3Ahref%3D%22%23E1-MJMATHI-6E%22%20x%3D%220%22%20y%3D%220%22%3E%3C%2Fuse%3E%0A%3C%2Fg%3E%0A%3C%2Fsvg%3E#card=math&code=n&id=SPHm6)维柱面，与平面和维曲面#card=math&code=x_n%20%3D%20f%28x_1%2C%20%5Cldots%2C%20x_n%29&id=E2tNy)分别相交，所得到的维曲顶柱体的代数体积.

应用

1. (b-x)%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx#card=math&code=%5Cint_a%5Eb%20%5Csqrt%7B%28x-a%29%28b-x%29%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx&id=blE7c)
2. 
3. )%5Cmathrm%7Bd%7Dx#card=math&code=%5Cint_0%5E%7B%5Cpi%2F2%7D%20%5Carcsin%28%5Ccos%28x%29%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx&id=qEnDx)
4. 其中是平面上由不等式的解集描述的区域.
5. 周期函数在半周期上的积分通常不等于零：%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D2%5Ccos(a)#card=math&code=%5Cinta%5E%7Ba%2B%5Cpi%7D%20%5Csin%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D2%5Ccos%28a%29&id=Rdqsx), %20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%3D%20-2%5Csin(a)#card=math&code=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Ba%2B%5Cpi%7D%5Ccos%28x%29%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%3D%20-2%5Csin%28a%29&id=Z7f68),
   但在任意一个周期上的积分必定为零： %5Cmathrm%7Bd%7D%7Bx%7D%3D%5Cint_a%5E%7Ba%2B2%5Cpi%7D%5Csin(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0.#card=math&code=%5Cint_a%5E%7Ba%2B2%5Cpi%7D%20%5Ccos%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7D%7Bx%7D%3D%5Cint_a%5E%7Ba%2B2%5Cpi%7D%5Csin%28x%29%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D0.&id=pIIsr) 因为在任意一个周期上，积分的正负数值互相抵消了.

解:
1. 考虑以区间为直径的在上半平面的圆周. 圆周上任意一个点，如果横坐标是 那么这个点的纵坐标就是%3D%5Csqrt%7B(x-a)(b-x)%7D#card=math&code=f%28x%29%3D%5Csqrt%7B%28x-a%29%28b-x%29%7D&id=L7ILD). 所以原积分代表以为直径的半圆的面积，等于*(b-a)%5E2.#card=math&code=%28%5Cpi%2F8%29%2A%28b-a%29%5E2.&id=EWAuz)

1. 首先注意到是点到区间的中点的距离. 作代换, 原积分变为
   %2F2%7D%5E%7B(b-a)%2F2%7D%20%7Ct%7C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%3D%202%20%5Cint0%5E%7B(b-a)%2F2%7D%20t%20%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%3D%20(b-a)%5E2%2F4#card=math&code=%5Cint%7B%28a-b%29%2F2%7D%5E%7B%28b-a%29%2F2%7D%20%7Ct%7C%20%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%3D%202%20%5Cint_0%5E%7B%28b-a%29%2F2%7D%20t%20%5Cmathrm%7Bd%7Dt%20%3D%20%28b-a%29%5E2%2F4&id=MpcZv). 此处第一个等号是因为是偶函数而积分区域关于原点对称.
   也可以直接算：原积分可以理解成两个等腰直角三角形的面积，这两个三角形的顶点分别在(公共顶点)， %2C%20(a%2C%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7B2%7D)#card=math&code=%28a%2C%200%29%2C%20%28a%2C%20%5Cfrac%7Bb-a%7D%7B2%7D%29&id=fhhGK)与. 所以这两个三角形全等，它们的直角边长度是

2. 由于%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Ccos(t)#card=math&code=%5Csin%28t%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Ccos%28t%29&id=ByrnV), 如果设#card=math&code=t%3D%5Ccos%28x%29&id=IdcRm), 则被积函数是. 所以原积分是由直线与两条坐标轴所围成的等腰直角三角形的面积，等于

3. 原积分是以为底，分别以的中心（原点）和半径为球心和半径的上半球面的体积, 等于.