differential-1

微分漫谈（之一) —— 什么是函数的微分？

考虑连续函数#card=math&code=y%3Df%28x%29&id=qeFzH)，并设在这个点，其图像有切线。熟知切线方程是%20%3D%20f%E2%80%99(a)(x-a)#card=math&code=y-f%28a%29%20%3D%20f%E2%80%99%28a%29%28x-a%29&id=snRwd). 记%20%3D%20f(a)%20%2B%20f%E2%80%99(a)(x-a)#card=math&code=L%28x%29%20%3D%20f%28a%29%20%2B%20f%E2%80%99%28a%29%28x-a%29&id=LAlrw).

设有另一个点)#card=math&code=Q%28a%2Bh%2C%20f%28a%2Bh%29%29&id=be4pk) 在附近, 从点变到点时，自变量的改变是，函数值的改变是%20%E2%80%93%20f(a)#card=math&code=%5CDelta%20y%3Df%28a%2Bh%29%20%E2%80%93%20f%28a%29&id=BuUTb).

问题：能否估计？不妨从一些特例开始。

(1)先看%3Dkx%2Bb#card=math&code=f%28x%29%3Dkx%2Bb&id=diHoU)是一次函数的情形，即其图像是一条直线。直接计算可知 这启发我们，可以用来估算.

(2)再看二次函数的情形：%3DAx%5E2%2BBx%2BC#card=math&code=f%28x%29%3DAx%5E2%2BBx%2BC&id=UexIl)。直接计算可知h%2BBh%20%3D%20(2Aa%2BB)h%2Bh%5E2#card=math&code=%5CDelta%20y%20%3D%20A%282a%2Bh%29h%2BBh%20%3D%20%282Aa%2BB%29h%2Bh%5E2&id=tsHb2). 因为点在点附近，所以可以假设很小，于是更小，基本可以忽略不计。于是可以写

%5CDelta%20x%20%2B%20o(%5CDelta%20x)%20%3D%20f’(a)%5CDelta%20x%20%2B%20o(%5CDelta%20x).%0A#card=math&code=%5CDelta%20y%20%3D%20%282Aa%2BB%29%5CDelta%20x%20%2B%20o%28%5CDelta%20x%29%20%3D%20f%27%28a%29%5CDelta%20x%20%2B%20o%28%5CDelta%20x%29.%0A&id=IJ7Q3)

函数#card=math&code=y%3Df%28x%29&id=lgbtx)在点)#card=math&code=P%28a%2C%20f%28a%29%29&id=xPk93)处的切线是%3Df(a)%2B(2Aa%2BB)(x-a)#card=math&code=L%28x%29%3Df%28a%29%2B%282Aa%2BB%29%28x-a%29&id=CCQJY). 如果在点附近，用#card=math&code=L%28x%29&id=qljv6)代替原来的二次函数%3DAx%5E2%2BBx%2BC#card=math&code=f%28x%29%3DAx%5E2%2BBx%2BC&id=LfTK2), 那么函数值的变化是-L(P)%3DL(a%2Bh)-L(a)%3D(2Aa%2BB)h#card=math&code=L%28Q%29-L%28P%29%3DL%28a%2Bh%29-L%28a%29%3D%282Aa%2BB%29h&id=taM1s).

结论： 中，占了大头的量是%5CDelta%20x%20%3D%20(2Aa%2BB)h#card=math&code=f%27%28a%29%5CDelta%20x%20%3D%20%282Aa%2BB%29h&id=yjtAA). 在点附近，如果用过点的切线来替换函数的图像，当横坐标从变成时，切线上的点的纵坐标变换量也是h%3D(2Aa%2BB)h#card=math&code=f%27%28a%29h%3D%282Aa%2BB%29h&id=I1QvT).

(3)现在看%3D%5Csin(x)#card=math&code=f%28x%29%3D%5Csin%28x%29&id=AwkGz). 直接计算可知

-%5Csin%20a%20%3D%20%5Ccos%20a%20%5Csin%20h%20%2B%20%5Csin%20a%20(%5Ccos%20h%20-%201).%0A#card=math&code=%5CDelta%20y%20%3D%20%5Csin%28a%2Bh%29-%5Csin%20a%20%3D%20%5Ccos%20a%20%5Csin%20h%20%2B%20%5Csin%20a%20%28%5Ccos%20h%20-%201%29.%0A&id=lOWkV)

初看之下，似乎不能把上面等式改写成%20%5CDelta%20x%20%2B%20o(%5CDelta%20x)#card=math&code=%5CDelta%20y%20%3D%20f%27%28a%29%20%5CDelta%20x%20%2B%20o%28%5CDelta%20x%29&id=wA2H4)的形式，但是注意到有等价无穷小量#card=math&code=%5Csin%20h%20%20%5Csim%20h%2C%20%5Ccos%20h%20-%201%20%5Csim%20%28h%5E2%2F2%29&id=nx9eO), 于是仍有. 即仍然有

%5CDelta%20x%20%3D%20o(%5CDelta%20x).%0A#card=math&code=%5CDelta%20y%20-%20f%27%28a%29%5CDelta%20x%20%3D%20o%28%5CDelta%20x%29.%0A&id=wtQDY)

这种与例（2）中居中的方程等价的形式。 我们可以得到与二次函数类似的结论。陈述如下：

对正弦函数, 当横坐标从变化到时，中占了大头的量是. 正弦函数在点)#card=math&code=P%28a%2C%20f%28a%29%29&id=lxPTu)处的切线是%3Df(a)%2B%5Ccos%20a%20%5Ccdot%20(x-a)#card=math&code=L%28x%29%3Df%28a%29%2B%5Ccos%20a%20%5Ccdot%20%28x-a%29&id=tyP7P). 如果在点附近，用#card=math&code=L%28x%29&id=ZJGb3)代替正弦函数, 那么函数值的变化是-L(P)%3DL(a%2Bh)-L(a)%3D%5Ccos%20a%20%5Ccdot%20h#card=math&code=L%28Q%29-L%28P%29%3DL%28a%2Bh%29-L%28a%29%3D%5Ccos%20a%20%5Ccdot%20h&id=yhWW1). 由于当很小时，是等价无穷小量，我们可以写 #card=math&code=%5CDelta%20y%20%3D%20%5Ccos%20a%20%5Ccdot%20h%20%2B%20o%28h%29&id=Y4Jxw), 即如同方程(2)的形式。

以上例子中，函数值的变化，其主要部分（占了大头的量），是的一次函数。（因为更高次的项，已经很小）。这表明，如果在点附近，用过的切线代替原来函数的图像，当横坐标从变成时，的主要部分与-L(a)#card=math&code=L%28a%2Bh%29-L%28a%29&id=CFxoi)相等。这启发我们给出下面的

定义：我们说函数#card=math&code=y%3Df%28x%29&id=kQ0kS)在可微，是指当变成时，有一个与无关的常数，使得

-f(x)%20-%20k%20%5CDelta%20x%20%3D%20o(%5CDelta%20x).%0A#card=math&code=%5CDelta%20y%20-%20k%5CDelta%20x%3D%20f%28x%2B%5CDelta%20x%29-f%28x%29%20-%20k%20%5CDelta%20x%20%3D%20o%28%5CDelta%20x%29.%0A&id=YTEh7)

即，是的无穷小量.

当然，我们能看到这个事实，是基于#card=math&code=y%3Df%28x%29&id=gNM2r) 的图像在点)#card=math&code=P%28a%2C%20f%28a%29%29&id=nXRV1)处有切线，即先要假设#card=math&code=y%3Df%28x%29&id=Jlrma)在处可导。那么，函数#card=math&code=y%3Df%28x%29&id=n4p6g)在可微，与它在可导，有何联系？上面的常数，与%2C%20a#card=math&code=f%28x%29%2C%20a&id=thxzm)又有何关系？下次再聊.