盛水最多的容器

盛水最多的容器

题解：

我们先从题目中的示例开始，一步一步地解释双指针算法的过程。稍后再给出算法正确性的证明。题目中的示例为： [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7] ^ ^ 在初始时，左右指针分别指向数组的左右两端，它们可以容纳的水量为 \min(1, 7) 8 = 8min(1,7)∗8=8。此时我们需要移动一个指针。移动哪一个呢？直觉告诉我们，应该移动对应数字较小的那个指针（即此时的左指针）。这是因为，由于容纳的水量是由 **两个指针指向的数字中较小值指针之间的距离* 决定的。如果我们移动数字较大的那个指针，那么前者「两个指针指向的数字中较小值」不会增加，后者「指针之间的距离」会减小，那么这个乘积会减小。因此，我们移动数字较大的那个指针是不合理的。因此，我们移动数字较小的那个指针。有读者可能会产生疑问：我们可不可以同时移动两个指针？先别急，我们先假设总是移动数字较小的那个指针的思路是正确的，在走完流程之后，我们再去进行证明。所以，我们将左指针向右移动： [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7] ^ ^ 此时可以容纳的水量为 \min(8, 7) 7 = 49min(8,7)∗7=49。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：

[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7] ^ ^ 此时可以容纳的水量为 \min(8, 3) 6 = 18min(8,3)∗6=18。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针： [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7] ^ ^ 此时可以容纳的水量为 \min(8, 8) 5 = 40min(8,8)∗5=40。两指针对应的数字相同，我们可以任意移动一个，例如左指针： [1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7] ^ ^ 此时可以容纳的水量为 \min(6, 8) 4 = 24min(6,8)∗4=24。由于左指针对应的数字较小，我们移动左指针，并且可以发现，在这之后左指针对应的数字总是较小，因此我们会一直移动左指针，直到两个指针重合。在这期间，对应的可以容纳的水量为：`\min(2, 8) 3 = 6min(2,8)∗3=6，\min(5, 8) 2 = 10min(5,8)∗2=10，\min(4, 8) 1 = 4min(4,8)∗1=4。` 在我们移动指针的过程中，计算到的最多可以容纳的数量为 49，即为最终的答案。

证明为什么双指针的做法是正确的？双指针代表了什么？双指针代表的是 可以作为容器边界的所有位置的范围。在一开始，双指针指向数组的左右边界，表示 数组中所有的位置都可以作为容器的边界，因为我们还没有进行过任何尝试。在这之后，我们每次将 对应的数字较小的那个指针 往 另一个指针 的方向移动一个位置，就表示我们认为 这个指针不可能再作为容器的边界了。为什么对应的数字较小的那个指针不可能再作为容器的边界了？在上面的分析部分，我们对这个问题有了一点初步的想法。这里我们定量地进行证明。 考虑第一步，假设当前左指针和右指针指向的数分别为 x 和 y，不失一般性，我们假设 x≤y。同时，两个指针之间的距离为 t。那么，它们组成的容器的容量为： min(x,y)∗t=x∗t 我们可以断定，如果我们保持左指针的位置不变，那么无论右指针在哪里，这个容器的容量都不会超过 x * t 了。注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。我们任意向左移动右指针，指向的数为 y_1，两个指针之间的距离为 _t_1，那么显然有 _t_1<_t，并且 min(x, y1)<=min(x , y)

如果 y_1≤_y，那么 min(x,y_1)≤min(_x,y)；
如果 y_1>_y，那么 min(x,y_1)=_x=min(x,y)。

因此有： min(x , yt )∗t_1<min(_x, y ) ∗t 即无论我们怎么移动右指针，得到的容器的容量都小于移动前容器的容量。也就是说，这个左指针对应的数不会作为容器的边界了，那么我们就可以丢弃这个位置，将左指针向右移动一个位置，此时新的左指针于原先的右指针之间的左右位置，才可能会作为容器的边界。这样以来，我们将问题的规模减小了 11，被我们丢弃的那个位置就相当于消失了。此时的左右指针，就指向了一个新的、规模减少了的问题的数组的左右边界，因此，我们可以继续像之前 考虑第一步 那样考虑这个问题：

求出当前双指针对应的容器的容量；
对应数字较小的那个指针以后不可能作为容器的边界了，将其丢弃，并移动对应的指针。

最后的答案是什么？答案就是我们每次以双指针为左右边界（也就是「数组」的左右边界）计算出的容量中的最大值。

var maxArea = function(height) {
    let max = 0;
    for (let i = 0, j = height.length - 1; i < j;) {
      //双指针i，j循环height数组
          //i，j较小的那个先向内移动 如果高的指针先移动，那肯定不如当前的面积大
        const minHeight = height[i] < height[j] ? height[i++] : height[j--];
        const area = (j - i + 1) * minHeight;//计算面积
        max = Math.max(max, area);//更新最大面积
    }
    return max;
};