1.1 线性方程组

线性方程组由m个方程和n个变量组成。
方程组若有解，则称其相容，否则称其不相容。

等价方程组：具有相同变量、相同解集的方程组们

nxn方程组，可以化为严格三角形（第一层满参数，最后一层只有一个参数）（strict triangular form），一般可以用回代法（back substitution）求唯一解。

系数矩阵：方程组等号左边的参数组成的矩阵
增广矩阵：系数矩阵+方程组等号右边的一列结果

增广矩阵的行运算：

  1. 交换两行。
  2. 任意一行乘以非零实数。
  3. 将任意一行替换为它和其他行倍数的和。

在增广矩阵的行运算中，常用第一行消去其他行的第一列，此时第一行称为主行；主行第一个非零元素称为主元。

1.2 行阶梯形 row echelon form

类似于将NN增广矩阵通过行运算变成严格三角形
MN矩阵也可以通过行运算化简

首变量：每一行中第一个非零元素
自由变量：两行首变量之间跨过的变量

行阶梯形

  1. 每一行第一个非零元素为1
  2. 首变量之前零越多的行，排后面
  3. 全为零的行在不全为零的行后面

高斯消元法：通过增广矩阵的行运算，将增广矩阵化为行阶梯形的方法。

超定方程组：方程组中方程个数大于变量个数，通常无解。
亚定方程组：方程组中方程个数小于变量个数，若相容则有无穷解。

行最简形：

  1. 行阶梯形
  2. 首变量是该列唯一非零元