二项分布与Poisson分布及其应用

二项分布的概念

• Bernoulli试验
  • 各次试验独立
  • 每次实验结果只能是两个互斥的结果之一
  • 每次试验时其中一种结果发生的概率不变
• 若一个随机变量x，它的可能取值是0…n，且相应的取值概率是: %5E%7Bn-x%7D#card=math&code=Px%3DC%5Ex%7Bn%7D%5Cpi%5E%7Bx%7D%281-%5Cpi%29%5E%7Bn-x%7D&id=kDQ2H)，则称
• 特征
  • 离散性分布
  • n较小时，为对称，不等于0.5为偏态，但随着n增大趋于对称，n很大，不接近0或1时，接近于正态分布
  • 概率中间高两头低
  • 均数，标准差%7D#card=math&code=%5Csigma%3D%5Csqrt%7Bn%5Cpi%281-%5Cpi%29%7D&id=QAsTt)
• 样本率的分布
  • 阳性率，服从#card=math&code=B%28n%2C%20%5Cpi%29&id=c6POV)
  • 均数，%7D%7Bn%7D%7D#card=math&code=S_p%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bp%281-p%29%7D%7Bn%7D%7D&id=SDW4P)

二项分布的应用

• 每次试验只有两种互斥的结果
• 为了找到这些实验结果的规律性，通常需要在相同条件下独立重复进行n次Bernoulli试验
• 我们只关心的是n次试验中阳性结果的数目

泊松分布的概念

• 泊松分布是一种离散性分布，用于描述单位时间、空间、面积等的罕见事件发生次数的概率分布
• 在二项分布中，当某事件出现的概率特别小，样本含量很大且时，二项分布变成泊松分布
• 泊松分布要求：
  • 普通性：事件无法同时发生
  • 平稳性：结果只与自变量增量有关而与自变量无关
  • 独立增量性：在自变量增量中，与任意自变量段无关
• 性质
  • 泊松分布属单参数离散随机分布，参数为总体平均数，总体方差等于总体均数
  • 泊松分布的图形随均数不同，均数很小时呈正偏态，随着均数增大而逐渐趋于对称
  • 多个独立服从泊松分布的随机变量之和仍然服从泊松分布，此分布的均数为多个随机变量的均数之和