3. 定量数据的参数估计

太长不看部分

懒得看下面的原理解释可以只看这部分。

• 标准误：描述样本均数间的变异程度的统计量
• 中心极限定理：抽样样本足够大时，样本的均值近似正态分布#card=math&code=N%28%5Cmu%2C%20%5Cfrac%7B%7B%5Csigma%7D%5E2%7D%7Bn%7D%29&id=Qmfxm)

正态分布的应用：

1. 正态近似法：符合正态分布的资料，通过正态的累计面积确定大部分人（95%）具有的值（即取图中的紫色部分）
2. 百分位数法：适用于偏态分布资料

区间估计分为以下情况：

• 已知：均数可信区间按照u分布截断，类似参考值的确定，不过是依据均值分布的正态分布
• 未知：按照t分布，
  ，又由于我们需要找的概率处于分布中的范围，所以找到对应的范围。
  即：，将t代换回即可得到：
  

抽样误差及标准误

• 抽样误差：由个体差异产生的，抽样造成的样本与样本、样本与总体相应统计指标之间的差异
• 抽样分布：由于抽样误差的存在，从同一总体中随机抽取若干份样本，所得样本统计量不一致，差异无法避免，但存在一定的分布规律
  • 样本均数恰好等于总体均数罕见
  • 样本均数间存在差异
  • 样本均数围绕总体均数，中间多，两边少，近似正态分布
  • 样本均数间的变异小于原始变量值之间的变异，即SEM，$SEM=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
  • 样本含量增大，样本均数变异范围缩小
• 中心极限定理：抽样样本足够大时，样本的均值近似正态分布#card=math&code=N%28%5Cmu%2C%20%5Cfrac%7B%7B%5Csigma%7D%5E2%7D%7Bn%7D%29&id=NsUAf)

常见概率分布

正态分布

特征：

• 正态曲线在横轴上方均数处最高；
• 正态分布以均数为中心，左右对称；
• 为位置参数，为变异度参数；
• 正态曲线下的面积分布有一定规律，横轴上正态曲线下的面积等于1。

应用：

1. 正态近似法：符合正态分布的资料，通过正态的累计面积确定大部分人（95%）具有的值
2. 百分位数法：适用于偏态分布资料

t分布

样本含量为n的样本均数服从#card=math&code=N%28%5Cmu%2C%20SEM%5E2%29&id=f0351)，则通过z变换可将其转换为标准正态分布#card=math&code=N%280%2C%201%29&id=VPTf2)，但由于未知，以代替，则不再服从正态分布，而服从t分布

t分布的特征：

• 以0为中心，左右对称的单峰分布；
• t分布为一簇曲线，其形态变化与自由度大小有关。越小，t越分散，自由度增大时，t分布逐渐逼近u分布；
• t分布曲线下总面积为1。

总体均数的估计

• 点估计：用样本统计量直接作为总体参数的估计值
• 区间估计：根据预先给定的概率确定包括未知总体参数的可能范围
  • 可信度：预先给定的概率
  • 可信区间：根据可信度确定的未知总体参数的可能范围

区间估计分为以下情况：

• 已知：均数可信区间按照u分布截断，类似参考值的确定，不过是依据均值分布的正态分布
• 未知：按照t分布，
  ，又由于我们需要找的概率处于分布中的范围，所以找到对应的范围。
  即：，将t代换回即可得到：
  

均数的可信区间与参考值范围区别：

1. 意义：
   1. 均数的可信区间：按预先给定的概率,确定的包含总体均数的可能范围,因此它用于估计总体均数。可信度要高，但精度不能下降；
   2. 参考值范围的统计意义：正常人的指标波动范围
2. 两者的计算公式：可信区间使用了样本分布，应用SEM计算，参考值适用的是s.