空间解析几何

空间两点的距离

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方向角与方向余弦

两点，对应向量记为
从原点做一向量平行于向量
向量与三个坐标轴的夹角记为
这三个角称为的方向角
对应的,称为方向余弦
公式表示:


表示在轴上投影的长度
且有关系

两直线的夹角

取两直线的方向向量,求得对应方向角可得到夹角余弦

也可使用向量的夹角公式

平面与空间直线

平面及其方程

平面的法线是与平面垂直的直线
点法式:
平面的法线向量,平面上一个定点

平面上任意一点与点组成的向量均与平面的法线垂直，即两个向量的数量积为0
则方程表示为:
一般形式：

直线及其方程

对称式：
直线的方向向量,直线上一定点，
则直线上任意一点满足:
一般形式：
通常直线是由两个平面相交得到的
因此一般形式的表示为两平面方程的联立：

直线与平面的关系通过平面法向量与直线方向向量进行判定

曲线与空间直线

曲面方程

球体：
以点

旋转曲面:
以一个平面上的某条曲线，绕该平面上某轴进行旋转得到的曲面
设平面上的一条曲线,绕轴旋转一周
那么也就是说， 曲线上对应一点与旋转轴的距离是固定的
即
考虑符号，得到的旋转曲面为

柱面:
直线沿着定曲线的路径平行移动一周得到柱面
二次曲面:
椭圆锥面：

对比平面椭圆，

对于特定的z值，椭圆是固定的，只是多加了一个参数z，更加立体的把椭圆变大变小的形象展示出来
椭球面:

单叶双曲面：

双叶双曲面：

椭圆抛物面：

双曲抛物面：

一般可通过截痕法进行分析

曲线方程

曲线视为两曲面的交线
即由两曲面方程联立得到

空间曲线的参数方程

空间曲线在坐标面上的投影

曲线
通过该方程组消去，得到方程，
当满足时，必定满足，这说明曲线上的所有点都在所表示的曲面上,
而是母线平行于轴的柱面,因此,该柱面与坐标面的交线即为曲线在坐标面的投影
即

点到平面的距离公式

点到平面的距离