多元函数微分法及应用

多元函数微分法及应用

平面点集

分类:
点与点集的关系:

n维空间

抽象，理解具体到某一点的坐标，所有可能坐标的集合，组成元有序数组

多元函数

涉及到自变量与因变量

多元函数的极限

多元函数的性质之一，类比一元函数极限，是针对平面点集上的某一个具体坐标的，函数极限在某坐标存在的必要条件是，对于该坐标，无论用任何方式 ，逼近该坐标，对应函数值都无限接近于
研究函数的极限引出的定理
夹逼准则等
题目中出现情形，判断函数极限是否存在
求函数在特定点位的极限

多元函数的连续性

两个层面。一是在某个坐标的连续性，条件是为该多元函数定义域的聚点，且，并有，即函数在点处连续。二是在某个范围内的连续，即内的点都是定义域的聚点，且函数在内的每一个坐标都连续，即为函数在上连续。

偏导数

研究多元函数的变化率所需要引入的概念
函数在某点可导意味着，函数在该点的某一领域内都有定义，且函数在坐标轴方向上，点趋近于时，函数值趋近于
暂时考虑，多个自变量中只有一个自变量的变化。这就是研究一个自变量的变化率，这时候就是多元函数关于的偏导数。
因此，偏导数的求法与一元函数的导数几乎没有差异。如对的偏导数可以记为

高阶偏导数

在一元函数的导数讨论中，除了一阶导数，为了更深入的研究函数的性质，有二阶乃至更高阶导数。自然也会有高阶偏导数。二阶如下

经过实际验证，有如下

结论：如果函数的两个二阶混合偏导数,在区域内连续，那么在该区域内，这两个二阶混合偏导数必定相等。

全微分

由偏导数的定义，类比一元函数同样可以引出偏微分
根据一元微分中，函数增量（因变量的变化量）与微分的关系可得

左边是二元函数分别对的偏增量，右端为二元函数分别对的偏微分
在一个函数中，的坐标决定的着因变量的值，而偏增量就是在对应坐标方向上的对应增量
但是结合实际情况，研究一个因变量的增量不会是只看其中某一个方向的因素，而更多的是需要知道全方位的结果，即全增量。二元函数全增量如下:

但是显然直接根据这个式子去表示是十分复杂的，我们想要将解耦
即若上式可表示为
其中
那么称函数为在点处可微分，其中为全微分记作
即
在某点处可微分与某点连续的关系，可微分必定连续，是因为使得，有

再讨论可微分的条件
必要条件：在点处可微分，意味着,在该点的偏导数必定存在且在该点的全微分为

充分条件：若函数的偏导数，在点处连续，则函数在该点可微分

复合多元函数求导

本质上是没有改变，只是表现形式有所区别，求导的思想是没有变化的，针对一个自变量求导，将其余视为不变

一元与多元复合

对应结论

多元与多元复合

对应结论

隐函数求导

有些函数无法直接显式的表示出来或是较为复杂，因此采用隐函数的表示方式

结论1
设函数在点的某一领域内具有连续偏导数，且，，则方程在点的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有
导出过程
代入中，即有
两边分别对求导
得到
有
结论2
设函数在点的某一领域内具有连续偏导数，且,，则方程在点的某一领域内，恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有

导出过程
代入中，即有
两边分别对求导

因为连续且，所以存在点的一个领域，在这个领域内，于是得

方程组形式

通常该情形下，是的复合函数，即
有
结论3
设函数在点的某一领域内具有对各个变量连续偏导数，且,且偏导数组成的函数行列式

在点处不等于，则方程组

在点的某一领域内，恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，并有

导出过程
分别对求导

通过解方程组得到对应偏导数即为式

向量值函数

空间几何中，空间曲线的参数方程

方程也可以写成向量形式

方程就成为向量方程

向量方程自然也有向量极限，

向量值函数在连续的充要条件是：的三个分量函数都在连续
向量导数

求导法则与数量函数的求导法则基本一致

空间曲线的切线与法平面

一些空间曲线可以用参数方程表示
现在讨论曲线的某一点的切线以及法平面方程
设与点对应的参数为，记
向量
就是曲线在点处的一个切向量
从而曲线的切线方程为

通过点且与切线垂直的平面为曲线点处的法平面，即通过点且以为法向量的平面
法平面方程为

另外一些空间曲线用方程组的形式表示

此时通过联立方程组将视为参数转换方程变形，将视为参数

分别求全导数之后得到关于偏导的方程组
可以分别求出
切向量即为
获得的切线方程与法平面方程同上

曲面的切平面与法线

先讨论隐式的曲面方程

点是曲面上一点，不考虑特殊情况的偏导数在该点连续且不为
过点在曲面上引任意一条曲线，设其参数方程为

对应点且不全为
该曲线的切线方程为

引入多条这样曲线，会发现，这些曲线的且向量均在同一平面上，即在该曲面在点的切平面上
导出过程
引入的曲线都在曲面上
满足
同时两边对求导

即有

引入向量

又有切线向量

结合式可知 与垂直
因为引入的曲线都是曲面上通过点的，也就是说，它们在点的切向量都与垂直，所以切向量都在同一平面上
切平面方程为

而向量对应着一个法线

方向导数

偏导数只能反映函数沿着坐标轴方向的变化率，但是在实际应用中，往往是没有这么巧的，方向是不确定，因此需要将导数进一步一般化，找出一种能够表示指定方向变化率的方法很有必要
对于二元函数，以平面某一点的坐标为始点，引射线，其同向向量为
射线的参数方程为

设函数在点的某个领域内有定义，为射线上另一点，且,函数增量与点距离比值为

令

即为函数在点处沿方向的导数
结论
若函数在处可微分，那么函数在该点沿任一方向的导数存在，且有

梯度

对于二元函数的每个点，都可定出一个向量

该向量即为函数在该点的梯度
为方向的单位向量
有

结论
某一点的梯度方向就是曲面上该点对应的单位法向量的方向
方向导数描述的是函数沿特定方向的函数变化率，研究变化快慢就是增长率的大小，即方向导数的大小
而
其中为梯度与单位向量的夹角
显然，当为时，增长最快，方向导数最大，即当单位向量与梯度方向相同时增长最快，有

多元函数的极值

类比一元函数的极值
结论
在某点处取得极值的必要条件
设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则有

充分条件
设函数在点的某领域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又

令

则函数在某点取极值的条件是
时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值
时无极值
时可能具有极值
求极值时应先求出函数驻点，即满足的点
通过式判断，讨论

条件极值

实际应用中，除了满足定义域外，还会附加一些额外条件
这些条件极值并不一定方便转化为无条件极值
因此有了拉格朗日数乘法
函数在条件下取得极值的必要条件
假定在点处，与均存在连续的一阶偏导数而且
那么确定一个隐式函数即
那么当函数在取得极值时相当于在处取得极值

又由
有
两式联立有，结合即为函数在下取得极值的必要条件
设
则上述条件转换为

引入辅助函数

有

解方程组得到即为在指定条件下的可能极值点

二元函数的泰勒公式