随机梯度下降

:label:sec_sgd

但是，在前面的章节中，我们一直在训练过程中使用随机梯度下降，但没有解释它为什么起作用。为了澄清这一点，我们刚在 :numref:sec_gd中描述了梯度下降的基本原则。在本节中，我们继续更详细地说明随机梯度下降（stochastic gradient descent）。

```{.python .input} %matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l import math from mxnet import np, npx npx.set_np()

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. %matplotlib inline
  5. from d2l import torch as d2l
  6. import math
  7. import torch

```{.python .input}

@tab tensorflow

%matplotlib inline from d2l import tensorflow as d2l import math import tensorflow as tf

  2. ## 随机梯度更新
  4. 在深度学习中，目标函数通常是训练数据集中每个样本的损失函数的平均值。给定$n$个样本的训练数据集，我们假设$f_i(\mathbf{x})$是关于索引$i$的训练样本的损失函数，其中$\mathbf{x}$是参数向量。然后我们得到目标函数
  6. $$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n f_i(\mathbf{x}).$$
  8. $\mathbf{x}$的目标函数的梯度计算为
  10. $$\nabla f(\mathbf{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \nabla f_i(\mathbf{x}).$$
  12. 如果使用梯度下降法，则每个自变量迭代的计算代价为$\mathcal{O}(n)$，它随$n$线性增长。因此，当训练数据集较大时，每次迭代的梯度下降计算代价将较高。
  14. 随机梯度下降（SGD）可降低每次迭代时的计算代价。在随机梯度下降的每次迭代中，我们对数据样本随机均匀采样一个索引$i$，其中$i\in\{1,\ldots, n\}$，并计算梯度$\nabla f_i(\mathbf{x})$以更新$\mathbf{x}$：
  16. $$\mathbf{x} \leftarrow \mathbf{x} - \eta \nabla f_i(\mathbf{x}),$$
  18. 其中$\eta$是学习率。我们可以看到，每次迭代的计算代价从梯度下降的$\mathcal{O}(n)$降至常数$\mathcal{O}(1)$。此外，我们要强调，随机梯度$\nabla f_i(\mathbf{x})$是对完整梯度$\nabla f(\mathbf{x})$的无偏估计，因为
  20. $$\mathbb{E}_i \nabla f_i(\mathbf{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \nabla f_i(\mathbf{x}) = \nabla f(\mathbf{x}).$$
  22. 这意味着，平均而言，随机梯度是对梯度的良好估计。
  24. 现在，我们将把它与梯度下降进行比较，方法是向梯度添加均值为0、方差为1的随机噪声，以模拟随机梯度下降。
  26. ```{.python .input}
  27. #@tab all
  28. def f(x1, x2):  # 目标函数
  29.     return x1 ** 2 + 2 * x2 ** 2
  31. def f_grad(x1, x2):  # 目标函数的梯度
  32.     return 2 * x1, 4 * x2

```{.python .input}

@tab mxnet, pytorch

def sgd(x1, x2, s1, s2, f_grad): g1, g2 = f_grad(x1, x2)

  1. # 模拟有噪声的梯度
  2. g1 += d2l.normal(0.0, 1, (1,))
  3. g2 += d2l.normal(0.0, 1, (1,))
  4. eta_t = eta * lr()
  5. return (x1 - eta_t * g1, x2 - eta_t * g2, 0, 0)
  2. ```{.python .input}
  3. #@tab tensorflow
  4. def sgd(x1, x2, s1, s2, f_grad):
  5.     g1, g2 = f_grad(x1, x2)
  6.     # 模拟有噪声的梯度
  7.     g1 += d2l.normal([1], 0.0, 1)
  8.     g2 += d2l.normal([1], 0.0, 1)
  9.     eta_t = eta * lr()
  10.     return (x1 - eta_t * g1, x2 - eta_t * g2, 0, 0)

```{.python .input}

@tab all

def constant_lr(): return 1

eta = 0.1 lr = constant_lr # 常数学习速度 d2l.show_trace_2d(f, d2l.train_2d(sgd, steps=50, f_grad=f_grad))

  2. 正如我们所看到的，随机梯度下降中变量的轨迹比我们在 :numref:`sec_gd`中观察到的梯度下降中观察到的轨迹嘈杂得多。这是由于梯度的随机性质。也就是说，即使我们接近最小值，我们仍然受到通过$\eta \nabla f_i(\mathbf{x})$的瞬间梯度所注入的不确定性的影响。即使经过50次迭代，质量仍然不那么好。更糟糕的是，经过额外的步骤，它不会得到改善（我们鼓励你尝试更多的步骤来确认这一点）。这给我们留下了唯一的选择：改变学习率$\eta$。但是，如果我们选择的学习率太小，我们一开始就不会取得任何有意义的进展。另一方面，如果我们选择的学习率太大，我们将无法获得一个好的解决方案，如上所示。解决这些相互冲突的目标的唯一方法是在优化过程中*动态*降低学习率。
  4. 这也是在`sgd`步长函数中添加学习率函数`lr`的原因。在上面的示例中，学习率调度的任何功能都处于休眠状态，因为我们将相关的`lr`函数设置为常量。
  6. ## 动态学习率
  8. 用与时间相关的学习率$\eta(t)$取代$\eta$增加了控制优化算法收敛的复杂性。特别是，我们需要弄清$\eta$的衰减速度。如果太快，我们将过早停止优化。如果减少的太慢，我们会在优化上浪费太多时间。以下是随着时间推移调整$\eta$时使用的一些基本策略（稍后我们将讨论更高级的策略）：
  10. $$
  11. \begin{aligned}
  12.     \eta(t) & = \eta_i \text{ if } t_i \leq t \leq t_{i+1}  && \text{分段常数} \\
  13.     \eta(t) & = \eta_0 \cdot e^{-\lambda t} && \text{指数衰减} \\
  14.     \eta(t) & = \eta_0 \cdot (\beta t + 1)^{-\alpha} && \text{多项式衰减}
  15. \end{aligned}
  16. $$
  18. 在第一个*分段常数*（piecewise constant）场景中，我们会降低学习率，例如，每当优化进度停顿时。这是训练深度网络的常见策略。或者，我们可以通过*指数衰减*（exponential decay）来更积极地减低它。不幸的是，这往往会导致算法收敛之前过早停止。一个受欢迎的选择是$\alpha = 0.5$的*多项式衰减*（polynomial decay）。在凸优化的情况下，有许多证据表明这种速率表现良好。
  20. 让我们看看指数衰减在实践中是什么样子。
  22. ```{.python .input}
  23. #@tab all
  24. def exponential_lr():
  25.     # 在函数外部定义，而在内部更新的全局变量
  26.     global t
  27.     t += 1
  28.     return math.exp(-0.1 * t)
  30. t = 1
  31. lr = exponential_lr
  32. d2l.show_trace_2d(f, d2l.train_2d(sgd, steps=1000, f_grad=f_grad))

正如预期的那样，参数的方差大大减少。但是，这是以未能收敛到最优解$\mathbf{x} = (0, 0)$为代价的。即使经过1000个迭代步骤，我们仍然离最优解很远。事实上，该算法根本无法收敛。另一方面，如果我们使用多项式衰减，其中学习率随迭代次数的平方根倒数衰减，那么仅在50次迭代之后，收敛就会更好。

```{.python .input}

@tab all

def polynomial_lr():

  1. # 在函数外部定义，而在内部更新的全局变量
  2. global t
  3. t += 1
  4. return (1 + 0.1 * t) ** (-0.5)

t = 1 lr = polynomial_lr d2l.show_trace_2d(f, d2l.train_2d(sgd, steps=50, f_grad=f_grad)) ```

关于如何设置学习率，还有更多的选择。例如，我们可以从较小的学习率开始，然后使其迅速上涨，再让它降低，尽管这会更慢。我们甚至可以在较小和较大的学习率之间切换。这样的计划各种各样。现在，让我们专注于可以进行全面理论分析的学习率计划，即凸环境下的学习率。对于一般的非凸问题，很难获得有意义的收敛保证，因为总的来说，最大限度地减少非线性非凸问题是NP困难的。有关的研究调查，请参阅例如2015年Tibshirani的优秀讲义笔记。

凸目标的收敛性分析

以下对凸目标函数的随机梯度下降的收敛性分析是可选的，主要用于传达对问题的更多直觉。我们只限于最简单的证明之一 :cite:Nesterov.Vial.2000。存在着明显更先进的证明技术，例如，当目标函数表现特别好时。

假设所有$\boldsymbol{\xi}$的目标函数$f(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{x})$在$\mathbf{x}$中都是凸的。更具体地说，我们考虑随机梯度下降更新：

\mathbf{x}{t+1} = \mathbf{x}{t} - \etat \partial\mathbf{x} f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x}),

其中$f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x})$是训练样本$f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x})$的目标函数：$\boldsymbol{\xi}_t$从第$t$步的某个分布中提取，$\mathbf{x}$是模型参数。用

R(\mathbf{x}) = E_{\boldsymbol{\xi}}[f(\boldsymbol{\xi}, \mathbf{x})]

表示期望风险，$R^$表示对于$\mathbf{x}$的最低风险。最后让$\mathbf{x}^$表示最小值（我们假设它存在于定义$\mathbf{x}$的域中）。在这种情况下，我们可以跟踪时间$t$处的当前参数$\mathbf{x}_t$和风险最小化器$\mathbf{x}^*$之间的距离，看看它是否随着时间的推移而改善：

\begin{aligned} &|\mathbf{x}{t+1} - \mathbf{x}^*|^2 \ =& |\mathbf{x}{t} - \etat \partial\mathbf{x} f(\boldsymbol{\xi}t, \mathbf{x}) - \mathbf{x}^*|^2 \ =& |\mathbf{x}{t} - \mathbf{x}^|^2 + \etat^2 |\partial\mathbf{x} f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x})|^2 - 2 \eta_t \left\langle \mathbf{x}_t - \mathbf{x}^, \partial_\mathbf{x} f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x})\right\rangle. \end{aligned} :eqlabel:eq_sgd-xt+1-xstar

我们假设随机梯度$\partial_\mathbf{x} f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x})$的$L_2$范数受到某个常数$L$的限制，因此我们有

\etat^2 |\partial\mathbf{x} f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x})|^2 \leq \eta_t^2 L^2. :eqlabel:eq_sgd-L

我们最感兴趣的是$\mathbf{x}_t$和$\mathbf{x}^$之间的距离如何变化的期望*。事实上，对于任何具体的步骤序列，距离可能会增加，这取决于我们遇到的$\boldsymbol{\xi}_t$。因此我们需要点积的边界。因为对于任何凸函数$f$，所有$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$都满足$f(\mathbf{y}) \geq f(\mathbf{x}) + \langle f’(\mathbf{x}), \mathbf{y} - \mathbf{x} \rangle$，按凸性我们有

f(\boldsymbol{\xi}t, \mathbf{x}^) \geq f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x}_t) + \left\langle \mathbf{x}^ - \mathbf{x}_t, \partial{\mathbf{x}} f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x}_t) \right\rangle. :eqlabel:eq_sgd-f-xi-xstar

将不等式 :eqref:eq_sgd-L和 :eqref:eq_sgd-f-xi-xstar代入 :eqref:eq_sgd-xt+1-xstar我们在时间$t+1$时获得参数之间距离的边界，如下所示：

|\mathbf{x}{t} - \mathbf{x}^*|^2 - |\mathbf{x}{t+1} - \mathbf{x}^|^2 \geq 2 \eta_t (f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x}_t) - f(\boldsymbol{\xi}_t, \mathbf{x}^)) - \eta_t^2 L^2. :eqlabel:eqref_sgd-xt-diff

这意味着，只要当前损失和最优损失之间的差异超过$\eta_t L^2/2$，我们就会取得进展。由于这种差异必然会收敛到零，因此学习率$\eta_t$也需要消失。

接下来，我们根据 :eqref:eqref_sgd-xt-diff取期望。得到

E\left[|\mathbf{x}{t} - \mathbf{x}^*|^2\right] - E\left[|\mathbf{x}{t+1} - \mathbf{x}^|^2\right] \geq 2 \eta_t [E[R(\mathbf{x}_t)] - R^] - \eta_t^2 L^2.

最后一步是对$t \in {1, \ldots, T}$的不等式求和。在求和过程中抵消中间项，然后舍去低阶项，可以得到

|\mathbf{x}1 - \mathbf{x}^*|^2 \geq 2 \left (\sum{t=1}^T \etat \right) [E[R(\mathbf{x}_t)] - R^*] - L^2 \sum{t=1}^T \eta_t^2. :eqlabel:eq_sgd-x1-xstar

请注意，我们利用了给定的$\mathbf{x}_1$，因而可以去掉期望。最后定义

\bar{\mathbf{x}} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \frac{\sum{t=1}^T \eta_t \mathbf{x}_t}{\sum{t=1}^T \eta_t}.

因为有

E\left(\frac{\sum{t=1}^T \eta_t R(\mathbf{x}_t)}{\sum{t=1}^T \etat}\right) = \frac{\sum{t=1}^T \etat E[R(\mathbf{x}_t)]}{\sum{t=1}^T \eta_t} = E[R(\mathbf{x}_t)],

根据詹森不等式（令 :eqref:eq_jensens-inequality中$i=t$，$\alphai = \eta_t/\sum{t=1}^T \eta_t$）和$R$的凸性使其满足的$E[R(\mathbf{x}_t)] \geq E[R(\bar{\mathbf{x}})]$，因此，

\sum{t=1}^T \eta_t E[R(\mathbf{x}_t)] \geq \sum{t=1}^T \eta_t E\left[R(\bar{\mathbf{x}})\right].

将其代入不等式 :eqref:eq_sgd-x1-xstar得到边界

$$ \left[E[\bar{\mathbf{x}}]\right] - R^* \leq \frac{r^2 + L^2 \sum{t=1}^T \eta_t^2}{2 \sum{t=1}^T \eta_t}, $$

其中$r^2 \stackrel{\mathrm{def}}{=} |\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}^*|^2$是初始选择参数与最终结果之间距离的边界。简而言之，收敛速度取决于随机梯度标准的限制方式（$L$）以及初始参数值与最优结果的距离（$r$）。请注意，边界由$\bar{\mathbf{x}}$而不是$\mathbf{x}_T$表示。因为$\bar{\mathbf{x}}$是优化路径的平滑版本。只要知道$r, L$和$T$，我们就可以选择学习率$\eta = r/(L \sqrt{T})$。这个就是上界$rL/\sqrt{T}$。也就是说，我们将按照速度$\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$收敛到最优解。

随机梯度和有限样本

到目前为止，在谈论随机梯度下降时，我们进行得有点快而松散。我们假设从分布$p(x, y)$中采样得到样本$xi$（通常带有标签$y_i$），并且用它来以某种方式更新模型参数。特别是，对于有限的样本数量，我们仅仅讨论了由某些允许我们在其上执行随机梯度下降的函数$\delta{xi}$和$\delta{yi}$组成的离散分布$p(x, y) = \frac{1}{n} \sum{i=1}^n \delta{x_i}(x) \delta{y_i}(y)$。

但是，这不是我们真正做的。在本节的简单示例中，我们只是将噪声添加到其他非随机梯度上，也就是说，我们假装有成对的$(x_i, y_i)$。事实证明，这种做法在这里是合理的（有关详细讨论，请参阅练习）。更麻烦的是，在以前的所有讨论中，我们显然没有这样做。相反，我们遍历了所有实例恰好一次。要了解为什么这更可取，可以反向考虑一下，即我们有替换地从离散分布中采样$n$个观测值。随机选择一个元素$i$的概率是$1/n$。因此选择它至少一次就是

P(\mathrm{choose~} i) = 1 - P(\mathrm{omit~} i) = 1 - (1-1/n)^n \approx 1-e^{-1} \approx 0.63.

类似的推理表明，挑选一些样本（即训练示例）恰好一次的概率是

{n \choose 1} \frac{1}{n} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1} = \frac{n}{n-1} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n} \approx e^{-1} \approx 0.37.

这导致与无替换采样相比，方差增加并且数据效率降低。因此，在实践中我们执行后者（这是本书中的默认选择）。最后一点注意，重复采用训练数据集的时候，会以不同的随机顺序遍历它。

小结

  • 对于凸问题，我们可以证明，对于广泛的学习率选择，随机梯度下降将收敛到最优解。
  • 对于深度学习而言，情况通常并非如此。但是，对凸问题的分析使我们能够深入了解如何进行优化，即逐步降低学习率，尽管不是太快。
  • 如果学习率太小或太大，就会出现问题。实际上，通常只有经过多次实验后才能找到合适的学习率。
  • 当训练数据集中有更多样本时，计算梯度下降的每次迭代的代价更高，因此在这些情况下，首选随机梯度下降。
  • 随机梯度下降的最优性保证在非凸情况下一般不可用，因为需要检查的局部最小值的数量可能是指数级的。

练习

  1. 尝试不同的随机梯度下降学习率计划和不同的迭代次数进行实验。特别是，根据迭代次数的函数来绘制与最优解$(0, 0)$的距离。
  2. 证明对于函数$f(x_1, x_2) = x_1^2 + 2 x_2^2$而言，向梯度添加正态噪声等同于最小化损失函数$f(\mathbf{x}, \mathbf{w}) = (x_1 - w_1)^2 + 2 (x_2 - w_2)^2$，其中$\mathbf{x}$是从正态分布中提取的。
  3. 当你从${(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)}$分别使用替换方法以及不替换方法进行采样时，比较随机梯度下降的收敛性。
  4. 如果某些梯度（或者更确切地说与之相关的某些坐标）始终比所有其他梯度都大，你将如何更改随机梯度下降求解器？
  5. 假设$f(x) = x^2 (1 + \sin x)$。$f$有多少局部最小值？你能改变$f$以尽量减少它需要评估所有局部最小值的方式吗？

:begin_tab:mxnet Discussions :end_tab:

:begin_tab:pytorch Discussions :end_tab:

:begin_tab:tensorflow Discussions :end_tab: