前向传播、反向传播和计算图
:label:sec_backprop
我们已经学习了如何用小批量随机梯度下降训练模型。 然而当实现该算法时，我们只考虑了通过前向传播（forward propagation）所涉及的计算。 在计算梯度时，我们只调用了深度学习框架提供的反向传播函数，而不知其所以然。
梯度的自动计算（自动微分）大大简化了深度学习算法的实现。 在自动微分之前，即使是对复杂模型的微小调整也需要手工重新计算复杂的导数， 学术论文也不得不分配大量页面来推导更新规则。 在本节中，我们将通过一些基本的数学和计算图， 深入探讨反向传播的细节。 首先，我们将重点放在带权重衰减（$L_2$正则化）的单隐藏层多层感知机上。
前向传播
前向传播（forward propagation或forward pass） 指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。
我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制， 为了简单起见，我们假设输入样本是 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^d$， 并且我们的隐藏层不包括偏置项。 这里的中间变量是：
\mathbf{z}= \mathbf{W}^{(1)} \mathbf{x},
其中$\mathbf{W}^{(1)} \in \mathbb{R}^{h \times d}$ 是隐藏层的权重参数。 将中间变量$\mathbf{z}\in \mathbb{R}^h$通过激活函数$\phi$后， 我们得到长度为$h$的隐藏激活向量：
\mathbf{h}= \phi (\mathbf{z}).
隐藏变量$\mathbf{h}$也是一个中间变量。 假设输出层的参数只有权重$\mathbf{W}^{(2)} \in \mathbb{R}^{q \times h}$， 我们可以得到输出层变量，它是一个长度为$q$的向量：
\mathbf{o}= \mathbf{W}^{(2)} \mathbf{h}.
假设损失函数为$l$，样本标签为$y$，我们可以计算单个数据样本的损失项，
L = l(\mathbf{o}, y).
根据$L_2$正则化的定义，给定超参数$\lambda$，正则化项为
s = \frac{\lambda}{2} \left(|\mathbf{W}^{(1)}|_F^2 + |\mathbf{W}^{(2)}|_F^2\right),
:eqlabel:eq_forward-s
其中矩阵的Frobenius范数是将矩阵展平为向量后应用的$L_2$范数。 最后，模型在给定数据样本上的正则化损失为：
J = L + s.
在下面的讨论中，我们将$J$称为目标函数（objective function）。
前向传播计算图
绘制计算图有助于我们可视化计算中操作符和变量的依赖关系。
:numref:fig_forward 是与上述简单网络相对应的计算图，
其中正方形表示变量，圆圈表示操作符。
左下角表示输入，右上角表示输出。
注意显示数据流的箭头方向主要是向右和向上的。
:label:fig_forward
反向传播
反向传播（backward propagation或backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。 简言之，该方法根据微积分中的链式规则，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。 该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。 假设我们有函数$\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$和$\mathsf{Z}=g(\mathsf{Y})$， 其中输入和输出$\mathsf{X}, \mathsf{Y}, \mathsf{Z}$是任意形状的张量。 利用链式法则，我们可以计算$\mathsf{Z}$关于$\mathsf{X}$的导数
\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{X}} = \text{prod}\left(\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{Y}}, \frac{\partial \mathsf{Y}}{\partial \mathsf{X}}\right).
在这里，我们使用$\text{prod}$运算符在执行必要的操作（如换位和交换输入位置）后将其参数相乘。 对于向量，这很简单，它只是矩阵-矩阵乘法。 对于高维张量，我们使用适当的对应项。 运算符$\text{prod}$指代了所有的这些符号。
回想一下，在计算图 :numref:fig_forward中的单隐藏层简单网络的参数是
$\mathbf{W}^{(1)}$和$\mathbf{W}^{(2)}$。
反向传播的目的是计算梯度$\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)}$和
$\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)}$。
为此，我们应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。
计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为我们需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。第一步是计算目标函数$J=L+s$相对于损失项$L$和正则项$s$的梯度。
\frac{\partial J}{\partial L} = 1 \; \text{and} \; \frac{\partial J}{\partial s} = 1.
接下来，我们根据链式法则计算目标函数关于输出层变量$\mathbf{o}$的梯度：
$$ \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial L}, \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}} \in \mathbb{R}^q. $$
接下来，我们计算正则化项相对于两个参数的梯度：
$$\frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \lambda \mathbf{W}^{(1)} \; \text{and} \; \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}} = \lambda \mathbf{W}^{(2)}.$$
现在我们可以计算最接近输出层的模型参数的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)} \in \mathbb{R}^{q \times h}$。 使用链式法则得出：
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}= \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right)= \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} \mathbf{h}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(2)}.
:eqlabel:eq_backprop-J-h
为了获得关于$\mathbf{W}^{(1)}$的梯度，我们需要继续沿着输出层到隐藏层反向传播。 关于隐藏层输出的梯度$\partial J/\partial \mathbf{h} \in \mathbb{R}^h$由下式给出：
$$ \frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{h}}\right) = {\mathbf{W}^{(2)}}^\top \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}. $$
由于激活函数$\phi$是按元素计算的， 计算中间变量$\mathbf{z}$的梯度$\partial J/\partial \mathbf{z} \in \mathbb{R}^h$ 需要使用按元素乘法运算符，我们用$\odot$表示：
$$ \frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}}, \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{z}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} \odot \phi’\left(\mathbf{z}\right). $$
最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)} \in \mathbb{R}^{h \times d}$。 根据链式法则，我们得到：
$$ \frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}}, \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} \mathbf{x}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(1)}. $$
训练神经网络
在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。 对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。 然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。
以上述简单网络为例：一方面，在前向传播期间计算正则项
:eqref:eq_forward-s取决于模型参数$\mathbf{W}^{(1)}$和
$\mathbf{W}^{(2)}$的当前值。
它们是由优化算法根据最近迭代的反向传播给出的。
另一方面，反向传播期间参数 :eqref:eq_backprop-J-h的梯度计算，
取决于由前向传播给出的隐藏变量$\mathbf{h}$的当前值。
因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后， 我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。 注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。 带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。 这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。 此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。 因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致内存不足（out of memory）错误。
小结
- 前向传播在神经网络定义的计算图中按顺序计算和存储中间变量，它的顺序是从输入层到输出层。
- 反向传播按相反的顺序（从输出层到输入层）计算和存储神经网络的中间变量和参数的梯度。
- 在训练深度学习模型时，前向传播和反向传播是相互依赖的。
- 训练比预测需要更多的内存。
练习
- 假设一些标量函数$\mathbf{X}$的输入$\mathbf{X}$是$n \times m$矩阵。$f$相对于$\mathbf{X}$的梯度维数是多少？
- 向本节中描述的模型的隐藏层添加偏置项（不需要在正则化项中包含偏置项）。
- 画出相应的计算图。
- 推导正向和反向传播方程。
- 计算本节所描述的模型，用于训练和预测的内存占用。
- 假设你想计算二阶导数。计算图发生了什么？你预计计算需要多长时间？
- 假设计算图对于你的GPU来说太大了。
- 你能把它划分到多个GPU上吗？
- 与小批量训练相比，有哪些优点和缺点？
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