Adadelta

:label:sec_adadelta

Adadelta是AdaGrad的另一种变体（ :numref:sec_adagrad）， 主要区别在于前者减少了学习率适应坐标的数量。 此外，广义上Adadelta被称为没有学习率，因为它使用变化量本身作为未来变化的校准。 Adadelta算法是在 :cite:Zeiler.2012中提出的。

Adadelta算法

简而言之，Adadelta使用两个状态变量，$\mathbf{s}_t$用于存储梯度二阶导数的泄露平均值，$\Delta\mathbf{x}_t$用于存储模型本身中参数变化二阶导数的泄露平均值。请注意，为了与其他出版物和实现的兼容性，我们使用作者的原始符号和命名（没有其它真正理由让大家使用不同的希腊变量来表示在动量法、AdaGrad、RMSProp和Adadelta中用于相同用途的参数）。

以下是Adadelta的技术细节。鉴于参数du jour是$\rho$，我们获得了与 :numref:sec_rmsprop类似的以下泄漏更新：

$$\begin{aligned} \mathbf{s}t & = \rho \mathbf{s}{t-1} + (1 - \rho) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned}$$

与 :numref:sec_rmsprop的区别在于，我们使用重新缩放的梯度$\mathbf{g}_t’$执行更新，即

$$\begin{aligned} \mathbf{x}t & = \mathbf{x}{t-1} - \mathbf{g}_t’. \ \end{aligned}$$

那么，调整后的梯度$\mathbf{g}_t’$是什么？我们可以按如下方式计算它：

$$\begin{aligned} \mathbf{g}t’ & = \frac{\sqrt{\Delta\mathbf{x}{t-1} + \epsilon}}{\sqrt{{\mathbf{s}_t + \epsilon}}} \odot \mathbf{g}_t, \ \end{aligned}$$

其中$\Delta \mathbf{x}{t-1}$是重新缩放梯度的平方$\mathbf{g}_t’$的泄漏平均值。我们将$\Delta \mathbf{x}{0}$初始化为$0$，然后在每个步骤中使用$\mathbf{g}_t’$更新它，即

$$\begin{aligned} \Delta \mathbf{x}t & = \rho \Delta\mathbf{x}{t-1} + (1 - \rho) {\mathbf{g}_t’}^2, \end{aligned}$$

和$\epsilon$（例如$10^{-5}$这样的小值）是为了保持数字稳定性而加入的。

代码实现

Adadelta需要为每个变量维护两个状态变量，即$\mathbf{s}_t$和$\Delta\mathbf{x}_t$。这将产生以下实现。

```{.python .input} %matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l from mxnet import np, npx npx.set_np()

def init_adadelta_states(feature_dim): s_w, s_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1) delta_w, delta_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1) return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, states, hyperparams): rho, eps = hyperparams[‘rho’], 1e-5 for p, (s, delta) in zip(params, states):

  1.     # In-placeupdatesvia[:]
  2.     s[:] = rho * s + (1 - rho) * np.square(p.grad)
  3.     g = (np.sqrt(delta + eps) / np.sqrt(s + eps)) * p.grad
  4.     p[:] -= g
  5.     delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g
  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. %matplotlib inline
  5. from d2l import torch as d2l
  6. import torch
  8. def init_adadelta_states(feature_dim):
  9.     s_w, s_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
  10.     delta_w, delta_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
  11.     return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))
  13. def adadelta(params, states, hyperparams):
  14.     rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
  15.     for p, (s, delta) in zip(params, states):
  16.         with torch.no_grad():
  17.             # In-placeupdatesvia[:]
  18.             s[:] = rho * s + (1 - rho) * torch.square(p.grad)
  19.             g = (torch.sqrt(delta + eps) / torch.sqrt(s + eps)) * p.grad
  20.             p[:] -= g
  21.             delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g
  22.         p.grad.data.zero_()

```{.python .input}

@tab tensorflow

%matplotlib inline from d2l import tensorflow as d2l import tensorflow as tf

def init_adadelta_states(feature_dim): s_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1))) s_b = tf.Variable(d2l.zeros(1)) delta_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1))) delta_b = tf.Variable(d2l.zeros(1)) return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, grads, states, hyperparams): rho, eps = hyperparams[‘rho’], 1e-5 for p, (s, delta), grad in zip(params, states, grads): s[:].assign(rho s + (1 - rho) tf.math.square(grad)) g = (tf.math.sqrt(delta + eps) / tf.math.sqrt(s + eps)) grad p[:].assign(p - g) delta[:].assign(rho delta + (1 - rho) g g)

  2. 对于每次参数更新，选择$\rho = 0.9$相当于10个半衰期。由此我们得到：
  4. ```{.python .input}
  5. #@tab all
  6. data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
  7. d2l.train_ch11(adadelta, init_adadelta_states(feature_dim),
  8.                {'rho': 0.9}, data_iter, feature_dim);

为了简洁实现，我们只需使用Trainer类中的adadelta算法。

```{.python .input} d2l.train_concise_ch11(‘adadelta’, {‘rho’: 0.9}, data_iter)

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. trainer = torch.optim.Adadelta
  5. d2l.train_concise_ch11(trainer, {'rho': 0.9}, data_iter)

```{.python .input}

@tab tensorflow

adadeltaisnotconvergingatdefaultlearningrate

butit’sconvergingatlr=5.0

trainer = tf.keras.optimizers.Adadelta d2l.train_concise_ch11(trainer, {‘learning_rate’:5.0, ‘rho’: 0.9}, data_iter) ```

小结

  • Adadelta没有学习率参数。相反，它使用参数本身的变化率来调整学习率。
  • Adadelta需要两个状态变量来存储梯度的二阶导数和参数的变化。
  • Adadelta使用泄漏的平均值来保持对适当统计数据的运行估计。

练习

  1. 调整$\rho$的值，会发生什么？
  2. 展示如何在不使用$\mathbf{g}_t’$的情况下实现算法。为什么这是个好主意？
  3. Adadelta真的是学习率为0吗？你能找到Adadelta无法解决的优化问题吗？
  4. 将Adadelta的收敛行为与AdaGrad和RMSProp进行比较。

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:begin_tab:pytorch Discussions :end_tab:

:begin_tab:tensorflow Discussions :end_tab: