线性回归的从零开始实现

:label:sec_linear_scratch

在了解线性回归的关键思想之后，我们可以开始通过代码来动手实现线性回归了。 在这一节中，(我们将从零开始实现整个方法， 包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器)。 虽然现代的深度学习框架几乎可以自动化地进行所有这些工作，但从零开始实现可以确保你真正知道自己在做什么。 同时，了解更细致的工作原理将方便我们自定义模型、自定义层或自定义损失函数。 在这一节中，我们将只使用张量和自动求导。 在之后的章节中，我们会充分利用深度学习框架的优势，介绍更简洁的实现方式。

```{.python .input} %matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l from mxnet import autograd, np, npx import random npx.set_np()

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. %matplotlib inline
  5. from d2l import torch as d2l
  6. import torch
  7. import random

```{.python .input}

@tab tensorflow

%matplotlib inline from d2l import tensorflow as d2l import tensorflow as tf import random

  2. ## 生成数据集
  4. 为了简单起见，我们将[**根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。**]
  5. 我们的任务是使用这个有限样本的数据集来恢复这个模型的参数。
  6. 我们将使用低维数据，这样可以很容易地将其可视化。
  7. 在下面的代码中，我们生成一个包含1000个样本的数据集，
  8. 每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。
  9. 我们的合成数据集是一个矩阵$\mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2}$。
  11. (**我们使用线性模型参数$\mathbf{w} = [2, -3.4]^\top$、$b = 4.2$
  12. 和噪声项$\epsilon$生成数据集及其标签：
  14. $$\mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon.$$
  15. **)
  17. 你可以将$\epsilon$视为模型预测和标签时的潜在观测误差。
  18. 在这里我们认为标准假设成立，即$\epsilon$服从均值为0的正态分布。
  19. 为了简化问题，我们将标准差设为0.01。
  20. 下面的代码生成合成数据集。
  22. ```{.python .input}
  23. #@tab mxnet, pytorch
  24. def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
  25.     """生成y=Xw+b+噪声"""
  26.     X = d2l.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
  27.     y = d2l.matmul(X, w) + b
  28.     y += d2l.normal(0, 0.01, y.shape)
  29.     return X, d2l.reshape(y, (-1, 1))

```{.python .input}

@tab tensorflow

def synthetic_data(w, b, num_examples): #@save “””生成y=Xw+b+噪声””” X = d2l.zeros((num_examples, w.shape[0])) X += tf.random.normal(shape=X.shape) y = d2l.matmul(X, tf.reshape(w, (-1, 1))) + b y += tf.random.normal(shape=y.shape, stddev=0.01) y = d2l.reshape(y, (-1, 1)) return X, y

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab all
  4. true_w = d2l.tensor([2, -3.4])
  5. true_b = 4.2
  6. features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

注意，[features中的每一行都包含一个二维数据样本， labels中的每一行都包含一维标签值（一个标量）]。

```{.python .input}

@tab all

print(‘features:’, features[0],’\nlabel:’, labels[0])

  2. 通过生成第二个特征`features[:, 1]`和`labels`的散点图，
  3. 可以直观观察到两者之间的线性关系。
  5. ```{.python .input}
  6. #@tab all
  7. d2l.set_figsize()
  8. d2l.plt.scatter(d2l.numpy(features[:, 1]), d2l.numpy(labels), 1);

读取数据集

回想一下，训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。 由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数， 该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。

在下面的代码中，我们[定义一个data_iter函数， 该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为batch_size的小批量]。 每个小批量包含一组特征和标签。

```{.python .input}

@tab mxnet, pytorch

def data_iter(batch_size, features, labels): num_examples = len(features) indices = list(range(num_examples))

  1. # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
  2. random.shuffle(indices)
  3. for i in range(0, num_examples, batch_size):
  4.     batch_indices = d2l.tensor(
  5.         indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
  6.     yield features[batch_indices], labels[batch_indices]
  2. ```{.python .input}
  3. #@tab tensorflow
  4. def data_iter(batch_size, features, labels):
  5.     num_examples = len(features)
  6.     indices = list(range(num_examples))
  7.     # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
  8.     random.shuffle(indices)
  9.     for i in range(0, num_examples, batch_size):
  10.         j = tf.constant(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
  11.         yield tf.gather(features, j), tf.gather(labels, j)

通常，我们利用GPU并行运算的优势，处理合理大小的“小批量”。 每个样本都可以并行地进行模型计算，且每个样本损失函数的梯度也可以被并行计算。 GPU可以在处理几百个样本时，所花费的时间不比处理一个样本时多太多。

我们直观感受一下小批量运算：读取第一个小批量数据样本并打印。 每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。 同样的，批量的标签形状与batch_size相等。

```{.python .input}

@tab all

batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels): print(X, ‘\n’, y) break

  2. 当我们运行迭代时，我们会连续地获得不同的小批量，直至遍历完整个数据集。
  3. 上面实现的迭代对于教学来说很好，但它的执行效率很低，可能会在实际问题上陷入麻烦。
  4. 例如，它要求我们将所有数据加载到内存中，并执行大量的随机内存访问。
  5. 在深度学习框架中实现的内置迭代器效率要高得多，
  6. 它可以处理存储在文件中的数据和数据流提供的数据。
  8. ## 初始化模型参数
  10. [**在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前**]，
  11. (**我们需要先有一些参数**)。
  12. 在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重，
  13. 并将偏置初始化为0。
  15. ```{.python .input}
  16. w = np.random.normal(0, 0.01, (2, 1))
  17. b = np.zeros(1)
  18. w.attach_grad()
  19. b.attach_grad()

```{.python .input}

@tab pytorch

w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True) b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab tensorflow
  4. w = tf.Variable(tf.random.normal(shape=(2, 1), mean=0, stddev=0.01),
  5.                 trainable=True)
  6. b = tf.Variable(tf.zeros(1), trainable=True)

在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。 每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。 有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。 因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。 我们使用 :numref:sec_autograd中引入的自动微分来计算梯度。

定义模型

接下来，我们必须[定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。] 回想一下，要计算线性模型的输出， 我们只需计算输入特征$\mathbf{X}$和模型权重$\mathbf{w}$的矩阵-向量乘法后加上偏置$b$。 注意，上面的$\mathbf{Xw}$是一个向量，而$b$是一个标量。 回想一下 :numref:subsec_broadcasting中描述的广播机制： 当我们用一个向量加一个标量时，标量会被加到向量的每个分量上。

```{.python .input}

@tab all

def linreg(X, w, b): #@save “””线性回归模型””” return d2l.matmul(X, w) + b

  2. ## [**定义损失函数**]
  4. 因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。
  5. 这里我们使用 :numref:`sec_linear_regression`中描述的平方损失函数。
  6. 在实现中，我们需要将真实值`y`的形状转换为和预测值`y_hat`的形状相同。
  8. ```{.python .input}
  9. #@tab all
  10. def squared_loss(y_hat, y):  #@save
  11.     """均方损失"""
  12.     return (y_hat - d2l.reshape(y, y_hat.shape)) ** 2 / 2

(定义优化算法)

正如我们在 :numref:sec_linear_regression中讨论的，线性回归有解析解。 尽管线性回归有解析解，但本书中的其他模型却没有。 这里我们介绍小批量随机梯度下降。

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。 接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。 下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。 该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每 一步更新的大小由学习速率lr决定。 因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（batch_size） 来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

```{.python .input} def sgd(params, lr, batch_size): #@save “””小批量随机梯度下降””” for param in params: param[:] = param - lr * param.grad / batch_size

  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. def sgd(params, lr, batch_size):  #@save
  5.     """小批量随机梯度下降"""
  6.     with torch.no_grad():
  7.         for param in params:
  8.             param -= lr * param.grad / batch_size
  9.             param.grad.zero_()

```{.python .input}

@tab tensorflow

def sgd(params, grads, lr, batch_size): #@save “””小批量随机梯度下降””” for param, grad in zip(params, grads): param.assign_sub(lr*grad/batch_size)

  2. ## 训练
  4. 现在我们已经准备好了模型训练所有需要的要素，可以实现主要的[**训练过程**]部分了。
  5. 理解这段代码至关重要，因为从事深度学习后，
  6. 你会一遍又一遍地看到几乎相同的训练过程。
  7. 在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。
  8. 计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。
  9. 最后，我们调用优化算法`sgd`来更新模型参数。
  11. 概括一下，我们将执行以下循环：
  13. * 初始化参数
  14. * 重复以下训练，直到完成
  15.     * 计算梯度$\mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b)$
  16.     * 更新参数$(\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g}$
  18. 在每个*迭代周期*（epoch）中，我们使用`data_iter`函数遍历整个数据集，
  19. 并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。
  20. 这里的迭代周期个数`num_epochs`和学习率`lr`都是超参数，分别设为3和0.03。
  21. 设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。
  22. 我们现在忽略这些细节，以后会在 :numref:`chap_optimization`中详细介绍。
  24. ```{.python .input}
  25. #@tab all
  26. lr = 0.03
  27. num_epochs = 3
  28. net = linreg
  29. loss = squared_loss

```{.python .input} for epoch in range(num_epochs): for X, y in data_iter(batch_size, features, labels): with autograd.record(): l = loss(net(X, w, b), y) # X和y的小批量损失

  1.     # 计算l关于[w,b]的梯度
  2.     l.backward()
  3.     sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
  4. train_l = loss(net(features, w, b), labels)
  5. print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
  2. ```{.python .input}
  3. #@tab pytorch
  4. for epoch in range(num_epochs):
  5.     for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
  6.         l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
  7.         # 因为l形状是(batch_size,1)，而不是一个标量。l中的所有元素被加到一起，
  8.         # 并以此计算关于[w,b]的梯度
  9.         l.sum().backward()
  10.         sgd([w, b], lr, batch_size)  # 使用参数的梯度更新参数
  11.     with torch.no_grad():
  12.         train_l = loss(net(features, w, b), labels)
  13.         print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

```{.python .input}

@tab tensorflow

for epoch in range(num_epochs): for X, y in data_iter(batch_size, features, labels): with tf.GradientTape() as g: l = loss(net(X, w, b), y) # X和y的小批量损失

  1.     # 计算l关于[w,b]的梯度
  2.     dw, db = g.gradient(l, [w, b])
  3.     # 使用参数的梯度更新参数
  4.     sgd([w, b], [dw, db], lr, batch_size)
  5. train_l = loss(net(features, w, b), labels)
  6. print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(tf.reduce_mean(train_l)):f}')
  2. 因为我们使用的是自己合成的数据集，所以我们知道真正的参数是什么。
  3. 因此，我们可以通过[**比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练的成功程度**]。
  4. 事实上，真实参数和通过训练学到的参数确实非常接近。
  6. ```{.python .input}
  7. #@tab all
  8. print(f'w的估计误差: {true_w - d2l.reshape(w, true_w.shape)}')
  9. print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

注意，我们不应该想当然地认为我们能够完美地求解参数。 在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。 幸运的是，即使是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解。 其中一个原因是，在深度网络中存在许多参数组合能够实现高度精确的预测。

小结

  • 我们学习了深度网络是如何实现和优化的。在这一过程中只使用张量和自动微分，不需要定义层或复杂的优化器。
  • 这一节只触及到了表面知识。在下面的部分中，我们将基于刚刚介绍的概念描述其他模型，并学习如何更简洁地实现其他模型。

练习

  1. 如果我们将权重初始化为零，会发生什么。算法仍然有效吗？
  2. 假设你是乔治·西蒙·欧姆，试图为电压和电流的关系建立一个模型。你能使用自动微分来学习模型的参数吗?
  3. 您能基于普朗克定律使用光谱能量密度来确定物体的温度吗？
  4. 如果你想计算二阶导数可能会遇到什么问题？你会如何解决这些问题？
  5. 为什么在squared_loss函数中需要使用reshape函数？
  6. 尝试使用不同的学习率，观察损失函数值下降的快慢。
  7. 如果样本个数不能被批量大小整除，data_iter函数的行为会有什么变化？

:begin_tab:mxnet Discussions :end_tab:

:begin_tab:pytorch Discussions :end_tab:

:begin_tab:tensorflow Discussions :end_tab: