学习率调度器
:label:sec_scheduler
到目前为止,我们主要关注如何更新权重向量的优化算法,而不是它们的更新速率。 然而,调整学习率通常与实际算法同样重要,有如下几方面需要考虑:
- 首先,学习率的大小很重要。如果它太大,优化就会发散;如果它太小,训练就会需要过长时间,或者我们最终只能得到次优的结果。我们之前看到问题的条件数很重要(有关详细信息,请参见 :numref:
sec_momentum
)。直观地说,这是最不敏感与最敏感方向的变化量的比率。 - 其次,衰减速率同样很重要。如果学习率持续过高,我们可能最终会在最小值附近弹跳,从而无法达到最优解。 :numref:
sec_minibatch_sgd
比较详细地讨论了这一点,在 :numref:sec_sgd
中我们则分析了性能保证。简而言之,我们希望速率衰减,但要比$\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})$慢,这样能成为解决凸问题的不错选择。 - 另一个同样重要的方面是初始化。这既涉及参数最初的设置方式(详情请参阅 :numref:
sec_numerical_stability
),又关系到它们最初的演变方式。这被戏称为预热(warmup),即我们最初开始向着解决方案迈进的速度有多快。一开始的大步可能没有好处,特别是因为最初的参数集是随机的。最初的更新方向可能也是毫无意义的。 - 最后,还有许多优化变体可以执行周期性学习率调整。这超出了本章的范围,我们建议读者阅读 :cite:
Izmailov.Podoprikhin.Garipov.ea.2018
来了解个中细节。例如,如何通过对整个路径参数求平均值来获得更好的解。
鉴于管理学习率需要很多细节,因此大多数深度学习框架都有自动应对这个问题的工具。 在本章中,我们将梳理不同的调度策略对准确性的影响,并展示如何通过学习率调度器(learning rate scheduler)来有效管理。
一个简单的问题
我们从一个简单的问题开始,这个问题可以轻松计算,但足以说明要义。
为此,我们选择了一个稍微现代化的LeNet版本(激活函数使用relu
而不是sigmoid
,汇聚层使用最大汇聚层而不是平均汇聚层),并应用于Fashion-MNIST数据集。
此外,我们混合网络以提高性能。
由于大多数代码都是标准的,我们只介绍基础知识,而不做进一步的详细讨论。如果需要,请参阅 :numref:chap_cnn
进行复习。
```{.python .input} %matplotlib inline from d2l import mxnet as d2l from mxnet import autograd, gluon, init, lr_scheduler, np, npx from mxnet.gluon import nn npx.set_np()
net = nn.HybridSequential() net.add(nn.Conv2D(channels=6, kernel_size=5, padding=2, activation=’relu’), nn.MaxPool2D(pool_size=2, strides=2), nn.Conv2D(channels=16, kernel_size=5, activation=’relu’), nn.MaxPool2D(pool_size=2, strides=2), nn.Dense(120, activation=’relu’), nn.Dense(84, activation=’relu’), nn.Dense(10)) net.hybridize() loss = gluon.loss.SoftmaxCrossEntropyLoss() device = d2l.try_gpu()
batch_size = 256 train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)
代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同
def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device): net.initialize(force_reinit=True, ctx=device, init=init.Xavier()) animator = d2l.Animator(xlabel=’epoch’, xlim=[0, num_epochs], legend=[‘train loss’, ‘train acc’, ‘test acc’]) for epoch in range(num_epochs): metric = d2l.Accumulator(3) # train_loss,train_acc,num_examples for i, (X, y) in enumerate(train_iter): X, y = X.as_in_ctx(device), y.as_in_ctx(device) with autograd.record(): y_hat = net(X) l = loss(y_hat, y) l.backward() trainer.step(X.shape[0]) metric.add(l.sum(), d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0]) train_loss = metric[0] / metric[2] train_acc = metric[1] / metric[2] if (i + 1) % 50 == 0: animator.add(epoch + i / len(train_iter), (train_loss, train_acc, None)) test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter) animator.add(epoch + 1, (None, None, test_acc)) print(f’train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, ‘ f’test acc {test_acc:.3f}’)
```{.python .input}
#@tab pytorch
%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import math
import torch
from torch import nn
from torch.optim import lr_scheduler
def net_fn():
model = nn.Sequential(
nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5, padding=2), nn.ReLU(),
nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2),
nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.ReLU(),
nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2),
nn.Flatten(),
nn.Linear(16 * 5 * 5, 120), nn.ReLU(),
nn.Linear(120, 84), nn.ReLU(),
nn.Linear(84, 10))
return model
loss = nn.CrossEntropyLoss()
device = d2l.try_gpu()
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)
# 代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同
def train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
scheduler=None):
net.to(device)
animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', xlim=[0, num_epochs],
legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
for epoch in range(num_epochs):
metric = d2l.Accumulator(3) # train_loss,train_acc,num_examples
for i, (X, y) in enumerate(train_iter):
net.train()
trainer.zero_grad()
X, y = X.to(device), y.to(device)
y_hat = net(X)
l = loss(y_hat, y)
l.backward()
trainer.step()
with torch.no_grad():
metric.add(l * X.shape[0], d2l.accuracy(y_hat, y), X.shape[0])
train_loss = metric[0] / metric[2]
train_acc = metric[1] / metric[2]
if (i + 1) % 50 == 0:
animator.add(epoch + i / len(train_iter),
(train_loss, train_acc, None))
test_acc = d2l.evaluate_accuracy_gpu(net, test_iter)
animator.add(epoch+1, (None, None, test_acc))
if scheduler:
if scheduler.__module__ == lr_scheduler.__name__:
# UsingPyTorchIn-Builtscheduler
scheduler.step()
else:
# Usingcustomdefinedscheduler
for param_group in trainer.param_groups:
param_group['lr'] = scheduler(epoch)
print(f'train loss {train_loss:.3f}, train acc {train_acc:.3f}, '
f'test acc {test_acc:.3f}')
```{.python .input}
@tab tensorflow
%matplotlib inline from d2l import tensorflow as d2l import tensorflow as tf import math from tensorflow.keras.callbacks import LearningRateScheduler
def net(): return tf.keras.models.Sequential([ tf.keras.layers.Conv2D(filters=6, kernel_size=5, activation=’relu’, padding=’same’), tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2), tf.keras.layers.Conv2D(filters=16, kernel_size=5, activation=’relu’), tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2), tf.keras.layers.Flatten(), tf.keras.layers.Dense(120, activation=’relu’), tf.keras.layers.Dense(84, activation=’sigmoid’), tf.keras.layers.Dense(10)])
batch_size = 256 train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)
代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同
def train(net_fn, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, device=d2l.try_gpu(), custom_callback = False): device_name = device._device_name strategy = tf.distribute.OneDeviceStrategy(device_name) with strategy.scope(): optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr) loss = tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True) net = net_fn() net.compile(optimizer=optimizer, loss=loss, metrics=[‘accuracy’]) callback = d2l.TrainCallback(net, train_iter, test_iter, num_epochs, device_name) if custom_callback is False: net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0, callbacks=[callback]) else: net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0, callbacks=[callback, custom_callback]) return net
让我们来看看如果使用默认设置,调用此算法会发生什么。
例如设学习率为$0.3$并训练$30$次迭代。
留意在超过了某点、测试准确度方面的进展停滞时,训练准确度将如何继续提高。
两条曲线之间的间隙表示过拟合。
```{.python .input}
lr, num_epochs = 0.3, 30
net.initialize(force_reinit=True, ctx=device, init=init.Xavier())
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': lr})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
```{.python .input}
@tab pytorch
lr, num_epochs = 0.3, 30 net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=lr) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
```{.python .input}
#@tab tensorflow
lr, num_epochs = 0.3, 30
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr)
学习率调度器
我们可以在每个迭代轮数(甚至在每个小批量)之后向下调整学习率。 例如,以动态的方式来响应优化的进展情况。
```{.python .input} trainer.set_learning_rate(0.1) print(f’learning rate is now {trainer.learning_rate:.2f}’)
```{.python .input}
#@tab pytorch
lr = 0.1
trainer.param_groups[0]["lr"] = lr
print(f'learning rate is now {trainer.param_groups[0]["lr"]:.2f}')
```{.python .input}
@tab tensorflow
lr = 0.1 dummy_model = tf.keras.models.Sequential([tf.keras.layers.Dense(10)]) dummy_model.compile(tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr), loss=’mse’) print(f’learning rate is now ,’, dummy_model.optimizer.lr.numpy())
更通常而言,我们应该定义一个调度器。
当调用更新次数时,它将返回学习率的适当值。
让我们定义一个简单的方法,将学习率设置为$\eta = \eta_0 (t + 1)^{-\frac{1}{2}}$。
```{.python .input}
#@tab all
class SquareRootScheduler:
def __init__(self, lr=0.1):
self.lr = lr
def __call__(self, num_update):
return self.lr * pow(num_update + 1.0, -0.5)
让我们在一系列值上绘制它的行为。
```{.python .input}
@tab all
scheduler = SquareRootScheduler(lr=0.1) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
现在让我们来看看这对在Fashion-MNIST数据集上的训练有何影响。
我们只是提供调度器作为训练算法的额外参数。
```{.python .input}
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
{'lr_scheduler': scheduler})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
```{.python .input}
@tab pytorch
net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
```{.python .input}
#@tab tensorflow
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))
这比以前好一些:曲线比以前更加平滑,并且过拟合更小了。 遗憾的是,关于为什么在理论上某些策略会导致较轻的过拟合,有一些观点认为,较小的步长将导致参数更接近零,因此更简单。 但是,这并不能完全解释这种现象,因为我们并没有真正地提前停止,而只是轻柔地降低了学习率。
策略
虽然我们不可能涵盖所有类型的学习率调度器,但我们会尝试在下面简要概述常用的策略:多项式衰减和分段常数表。 此外,余弦学习率调度在实践中的一些问题上运行效果很好。 在某些问题上,最好在使用较高的学习率之前预热优化器。
单因子调度器
多项式衰减的一种替代方案是乘法衰减,即$\eta{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha$其中$\alpha \in (0, 1)$。 为了防止学习率衰减到一个合理的下界之下, 更新方程经常修改为$\eta{t+1} \leftarrow \mathop{\mathrm{max}}(\eta_{\mathrm{min}}, \eta_t \cdot \alpha)$。
```{.python .input}
@tab all
class FactorScheduler: def init(self, factor=1, stop_factor_lr=1e-7, base_lr=0.1): self.factor = factor self.stop_factor_lr = stop_factor_lr self.base_lr = base_lr
def __call__(self, num_update):
self.base_lr = max(self.stop_factor_lr, self.base_lr * self.factor)
return self.base_lr
scheduler = FactorScheduler(factor=0.9, stop_factor_lr=1e-2, base_lr=2.0) d2l.plot(d2l.arange(50), [scheduler(t) for t in range(50)])
接下来,我们将使用内置的调度器,但在这里仅解释它们的功能。
### 多因子调度器
训练深度网络的常见策略之一是保持学习率为一组分段的常量,并且不时地按给定的参数对学习率做乘法衰减。
具体地说,给定一组降低学习率的时间点,例如$s = \{5, 10, 20\}$,
每当$t \in s$时,降低$\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha$。
假设每步中的值减半,我们可以按如下方式实现这一点。
```{.python .input}
scheduler = lr_scheduler.MultiFactorScheduler(step=[15, 30], factor=0.5,
base_lr=0.5)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
```{.python .input}
@tab pytorch
net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5) scheduler = lr_scheduler.MultiStepLR(trainer, milestones=[15, 30], gamma=0.5)
def get_lr(trainer, scheduler): lr = scheduler.get_last_lr()[0] trainer.step() scheduler.step() return lr
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [get_lr(trainer, scheduler) for t in range(num_epochs)])
```{.python .input}
#@tab tensorflow
class MultiFactorScheduler:
def __init__(self, step, factor, base_lr):
self.step = step
self.factor = factor
self.base_lr = base_lr
def __call__(self, epoch):
if epoch in self.step:
self.base_lr = self.base_lr * self.factor
return self.base_lr
else:
return self.base_lr
scheduler = MultiFactorScheduler(step=[15, 30], factor=0.5, base_lr=0.5)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
这种分段恒定学习率调度背后的直觉是,让优化持续进行,直到权重向量的分布达到一个驻点。 此时,我们才将学习率降低,以获得更高质量的代理来达到一个良好的局部最小值。 下面的例子展示了如何使用这种方法产生更好的解决方案。
```{.python .input} trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), ‘sgd’, {‘lr_scheduler’: scheduler}) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
```{.python .input}
#@tab pytorch
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
scheduler)
```{.python .input}
@tab tensorflow
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))
### 余弦调度器
余弦调度器是 :cite:`Loshchilov.Hutter.2016`提出的一种启发式算法。
它所依据的观点是:我们可能不想在一开始就太大地降低学习率,而且可能希望最终能用非常小的学习率来“改进”解决方案。
这产生了一个类似于余弦的调度,函数形式如下所示,学习率的值在$t \in [0, T]$之间。
$$\eta_t = \eta_T + \frac{\eta_0 - \eta_T}{2} \left(1 + \cos(\pi t/T)\right)$$
这里$\eta_0$是初始学习率,$\eta_T$是当$T$时的目标学习率。
此外,对于$t > T$,我们只需将值固定到$\eta_T$而不再增加它。
在下面的示例中,我们设置了最大更新步数$T = 20$。
```{.python .input}
scheduler = lr_scheduler.CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3,
final_lr=0.01)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
```{.python .input}
@tab pytorch, tensorflow
class CosineScheduler: def init(self, max_update, base_lr=0.01, final_lr=0, warmup_steps=0, warmup_begin_lr=0): self.base_lr_orig = base_lr self.max_update = max_update self.final_lr = final_lr self.warmup_steps = warmup_steps self.warmup_begin_lr = warmup_begin_lr self.max_steps = self.max_update - self.warmup_steps
def get_warmup_lr(self, epoch):
increase = (self.base_lr_orig - self.warmup_begin_lr) \
* float(epoch) / float(self.warmup_steps)
return self.warmup_begin_lr + increase
def __call__(self, epoch):
if epoch < self.warmup_steps:
return self.get_warmup_lr(epoch)
if epoch <= self.max_update:
self.base_lr = self.final_lr + (
self.base_lr_orig - self.final_lr) * (1 + math.cos(
math.pi * (epoch - self.warmup_steps) / self.max_steps)) / 2
return self.base_lr
scheduler = CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01) d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
在计算机视觉的背景下,这个调度方式可能产生改进的结果。
但请注意,如下所示,这种改进并不一定成立。
```{.python .input}
trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
{'lr_scheduler': scheduler})
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
```{.python .input}
@tab pytorch
net = net_fn() trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device, scheduler)
```{.python .input}
#@tab tensorflow
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))
预热
在某些情况下,初始化参数不足以得到良好的解。 这对于某些高级网络设计来说尤其棘手,可能导致不稳定的优化结果。 对此,一方面,我们可以选择一个足够小的学习率, 从而防止一开始发散,然而这样进展太缓慢。 另一方面,较高的学习率最初就会导致发散。
解决这种困境的一个相当简单的解决方法是使用预热期,在此期间学习率将增加至初始最大值,然后冷却直到优化过程结束。 为了简单起见,通常使用线性递增。 这引出了如下表所示的时间表。
```{.python .input} scheduler = lr_scheduler.CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01) d2l.plot(np.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
```{.python .input}
#@tab pytorch, tensorflow
scheduler = CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(d2l.arange(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])
注意,观察前5个迭代轮数的性能,网络最初收敛得更好。
```{.python .input} trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), ‘sgd’, {‘lr_scheduler’: scheduler}) train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device)
```{.python .input}
#@tab pytorch
net = net_fn()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.3)
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, loss, trainer, device,
scheduler)
```{.python .input}
@tab tensorflow
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler)) ```
预热可以应用于任何调度器,而不仅仅是余弦。
有关学习率调度的更多实验和更详细讨论,请参阅 :cite:Gotmare.Keskar.Xiong.ea.2018
。
其中,这篇论文的点睛之笔的发现:预热阶段限制了非常深的网络中参数的发散量。
这在直觉上是有道理的:在网络中那些一开始花费最多时间取得进展的部分,随机初始化会产生巨大的发散。
小结
- 在训练期间逐步降低学习率可以提高准确性,并且减少模型的过拟合。
- 在实验中,每当进展趋于稳定时就降低学习率,这是很有效的。从本质上说,这可以确保我们有效地收敛到一个适当的解,也只有这样才能通过降低学习率来减小参数的固有方差。
- 余弦调度器在某些计算机视觉问题中很受欢迎。
- 优化之前的预热期可以防止发散。
- 优化在深度学习中有多种用途。对于同样的训练误差而言,选择不同的优化算法和学习率调度,除了最大限度地减少训练时间,可以导致测试集上不同的泛化和过拟合量。
练习
- 试验给定固定学习率的优化行为。这种情况下你可以获得的最佳模型是什么?
- 如果你改变学习率下降的指数,收敛性会如何改变?在实验中方便起见,使用
PolyScheduler
。 - 将余弦调度器应用于大型计算机视觉问题,例如训练ImageNet数据集。与其他调度器相比,它如何影响性能?
- 预热应该持续多长时间?
- 你能把优化和采样联系起来吗?首先,在随机梯度朗之万动力学上使用 :cite:
Welling.Teh.2011
的结果。
:begin_tab:mxnet
Discussions
:end_tab:
:begin_tab:pytorch
Discussions
:end_tab:
:begin_tab:tensorflow
Discussions
:end_tab: