数学规划模型

什么是数学规划

数学规划是运筹学的一个分支，用来研究：在给定的条件下（约束条件），如何按照某一衡量指标（目标函数）来寻求计划、管理工作中的最优方案

数学规划的一般形式
称为决策变量，（1）称为问题的目标函数，(2)称为问题的约束条件，是规划问题数学模型的三个要素

数学规划的分类

线性规划：目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题，通用的算法有单纯形法
整数规划：变量取整数值的数学规划，包括线性整数规划和非线性整数规划，目前所流行的求解整数规划的算法往往只适用于线性整数规划
非线性规划：目标函数或约束条件是非线性表达的数学规划。目前没有通用算法，大多数算法都是在选定决策变量的初始值后，通过一定的搜索方法寻求最优的决策变量
线性规划问题解的概念

一般线性规划的标准型为

线性规划 - 图3
满足约束条件的解称为线性规划问题的可行解，而使目标函数达到最小值的可行解称为最优解，所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

线性规划的Matlab标准形式及解法

线性规划 - 图4

基本调用函数 [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,Beq,lb,ub,X0,options)

例：
线性规划 - 图5

f=[-2 -3 5];
A=[-2 5 -1 ;1 3 1];
b=[-10;12];
Aeq=[1 1 1];
beq=7;
lb=zeros(3,1);
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb);
disp(["最优解为：" num2str(x')]);
disp(["最优值为：" num2str(-fval)]);

from scipy.optimize import linprog
import numpy as np
f=np.array([2,3,-5])
A=np.array([[-2,5,-1],[1,3,1]])
b=np.array([-10,12])
Aeq=np.array([[1,1,1]])
beq=np.array([7])
res=linprog(f,A_ub=A,b_ub=b,A_eq=Aeq,b_eq=beq,bounds=[(0, None), (0, None), (0, None)])