198. 打家劫舍

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。 :::info 示例：
输入：[2,7,9,3,1]
输出：12
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。 ::: 提示：

  • 1 <= nums.length <= 100
  • 0 <= nums[i] <= 400

    思路

    首先根据动态规划五部曲来思考：
  1. 确定dp数组及其下标的含义

dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。

  1. 确定递推公式

决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。
如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房）
然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1])、

  1. dp数组如何初始化

从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]。
从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1])。

  1. 确定遍历顺序

dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历。

  1. 举例

打家劫舍 I、II、III - 图1

  1. var rob = function(nums) {
  2.     const len = nums.length;
  3.     if (len === 1) return nums[0];
  4.     // 初始化
  5.     const dp = [nums[0], Math.max(nums[0], nums[1])];
  7.     // 递推公式
  8.     for (let i = 2; i < len; i++) {
  9.         dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1]);
  10.     }
  11.     return dp[len - 1];
  12. };

213. 打家劫舍 II

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。 :::info 输入：nums = [2,3,2]
输出：3
解释：你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。 ::: 提示：

  • 1 <= nums.length <= 100

  • 0 <= nums[i] <= 400

    思路

    该题与 打家劫舍I 的思路是一致的，只不过要分成以下两种情况：

  • 如果取了头号房屋，则不能使用取到最后一间房屋，即数组长度为[0, len-2]

  • 如果不取头号房屋，则能使用最后一间房屋，数组长度为[1, len-1]

对这两种情况分别dp即可。

  1. var rob = function(nums) {
  2.     const len = nums.length;
  3.     if (len === 1) return nums[0];
  5.     const res1 = robRange(nums, 0, len - 2);
  6.     const res2 = robRange(nums, 1, len - 1);
  7.     return Math.max(res1, res2);
  8. };
  10. const robRange = (nums, start, end) => {
  11.     const dp = new Array(nums.length).fill(0);
  12.     dp[start] = nums[start];
  13.     dp[start+1] = Math.max(nums[start], nums[start+1]);
  15.     for (let i = start + 2; i <= end; i++) {
  16.         dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i], dp[i-1]);
  17.     }
  19.     return dp[end]
  20. }

337. 打家劫舍 III

小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。
除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。
给定二叉树的 root 。返回 在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。
示例：
打家劫舍 I、II、III - 图2 :::info 输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7 :::

思路

本道题其实就是把 打家劫舍 I 的数组结构换成了树结构，这就要求我们熟悉树的遍历。
在本题中，可以采用后序遍历的方法实现。

  • 如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷
  • 如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的
  • 最后当前节点的状态就是{val2, val1}; 即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}

然后我们通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱；通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。最后将结果解构后取最大值即可。

  1. var rob = function(root) {
  2.     if (!root) return 0;
  4.     // 后序遍历
  5.     const postOrder = (node) => {
  6.         // 递归出口
  7.         if (!node) return [0, 0];
  8.         // 遍历左子树
  9.         const left = postOrder(node.left);
  10.         // 遍历右子树
  11.         const right = postOrder(node.right);
  12.         // 不偷当前节点，左右子节点都可以偷或不偷，取最大值
  13.         const DoNot = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
  14.         // 偷当前节点，左右子节点只能不偷
  15.         const Do = node.val + left[0] + right[0];
  16.         // [不偷，偷]
  17.         return [DoNot, Do];
  18.     }
  19.     const res = postOrder(root);
  20.     return Math.max(...res);
  21. };