买卖股票的最佳时机 I、II、III、IV

121. 买卖股票的最佳时机

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。 :::info 示例：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。 :::

思路

首先用动态规划五部曲来分析：

1. 确定 dp 数组以及下标的含义

dp[i][0] 表示第 i 天持有股票所得最多现金，即一开始现金为0，加入第 i 天买入股票现金就是 - price[i]，这是一个负数。
dp[i][1] 表示第 i 天不持有股票所得的最多现金

1. 确定递推公式

如果第 i 天持有股票，那么可以由两个状态推导出来

• 第 i 天持有股票，则保持现状，所得现金为昨天持有股票的所得现金，即： dp[i - 1][0]
• 第 i 天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金，即： - price[i]

那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第 i 天不持有股票即 dp[i][0]，也可以由两个状态推出来

• 第 i-1 天就不持有股票，则保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金，即：dp[i-1][1]
• 第 i 天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，即：price[i] + dp[i-1][0]

同样，dp[i][1] 取最大，dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], price[i] + dp[i-1][0])

1. 初始化

其基础都要从dp[0][0] 和 dp[1][1] 推导出来
那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];
dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;

1. 遍历顺序

dp[i] 都是由 dp[i-1] 推导出来的，那么一定是从前往后遍历

1. 举例

dp[5][1] 即为最终结果。

var maxProfit = function(prices) {
    const len = prices.length;
    if (len === 1) return 0;
    const dp = new Array(len).fill().map(() => new Array(2).fill(0));
    // 初始化
    dp[0][0] -= prices[0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0])
    }
    return dp[len-1][1];
};

上述解法的空间复杂度为 ： O(n)
从递推公式可以看出，dp[i]只是依赖于dp[i - 1]的状态。
那么我们只需要记录 当前天的dp状态和前一天的dp状态就可以了，可以使用滚动数组来节省空间，代码如下：

var maxProfit = function(prices) {
    const len = prices.length;
    if (len === 1) return 0;
    const dp = new Array(2).fill().map(() => new Array(2).fill(0));
    // 初始化
    dp[0][0] -= prices[0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
        dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0])
    }
    return dp[(len - 1) % 2][1];
};

如此空间复杂度可减少为 O(1).
我们还可以用贪心法来解决这个问题：

var maxProfit = function(prices) {
    const len = prices.length;
    if (len === 1) return 0;
    let res = 0, min = Infinity;
    for (let i = 0; i < len; i++) {
        min = Math.min(min, prices[i]);  // 取最左最小价格
        res = Math.max(res, prices[i] - min);  // 直接去最大区间利润
    }
    return res;
};

122. 买卖股票的最佳时机 II

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。 :::info 输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。 :::

思路

在本题中，因为一只股票可以买卖多次，所以当第 i 天买入股票时，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]

• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]

  var maxProfit = function(prices) {
    const len = prices.length;
    if (len === 1) return 0;
    const dp = new Array(len).fill().map(() => new Array(2).fill(0));
    dp[0][0] -= prices[0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 与 买卖股票I 不同的地方
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
    }
    return dp[len - 1][1]
  };

  也可以用贪心的思路解决：

  var maxProfit = function(prices) {
    const len = prices.length;
    let res = 0;
    for (let i = 0; i < len-1; i++) {
        const temp = prices[i+1] - prices[i];
        if (temp > 0) {
            res += temp;
        }
    }
    return res;
  };