2.2 数制的概念

数制：通常是指进位计数制（做加法的时候逢几进一的数制）
进位计数制：就是做加法的时候逢几进一的数制。比如说：十进制：逢十进一、二进制：逢二进一。

十进制和二进制的对照计算表

二进制的缺点

太长了

一个比较大的十进制，转换成二进制后占很多位。比如上表的9：一位十进制就占了4位二进制

难认、难记、难算

为了让二进制短一点，引入了8、16进制。

进位计数制：2、8、10、16

名词解析：

• 基本数符：也就是基本符号
• 八进制的角标：O，也因为大写的“O”容易和数字“0”混淆，所以也用“Q”来表示
• 十六进制：本应该有16个基本符号0-15的。但是10-15需要用一位来表示，所以用A-F分别表示10-15

  角标

  二进制：B
  八进制：O
  十进制：D
  十六进制：H

  值域

  3位二进制数：000~111 （2个取值）也就是表示0~7的数
  1位八进制数：0~7 （8个取值）
  因为二的3次方等于八的1次方， 所以每3位二进制数可以转换成1位八位进制数。也就是说3位二进制数和1位八进制数是可以等值转换的。
  同理：因为二的4次方等于十六的1次方，所以每4位二进制数可以转换为1位十六进制数。

  数值计算公式

  怎么分辨出一个数的大小是（十进制的）多少？
  数值中每个数符表示的值应该等于数符本身乘以他所在位的权值。（以345.12为例，数值就是345.12，数符就是3、4、5等）

  位

  给数值中的每一位进行命名。
  命名的规则是：以小数点为分割，向左分别是D0位、D1位……依次增大，向右分别是D-1位、D-2位……依次减小。
  给数值中的每一位起了一个唯一的名字。

  讨论与思考（数位命名）：为什么对数位命名时，个位命名为D0，而不是D1？

  因为计算机中二进制、八进制、十六进制都是从0开始的。最小数字为0。

  权值（又称：单位值）

  数制中某一位的单位值称为该位的权。（单位值，实际上指得就是1。比如：速度是单位时间内的里程数。单位时间指的是1小时/1秒钟。对照数学中的单位值，就是1。）
  如何看某一位上的权值是多少，只要往这个位上放一个1，看他表示的是多少。
  比如：345.12中，D2位的3表示的就是300。因为只要在D2位上放一个1，就表示100。这就是D2位的单位值、又称作D2位的权值。

那么，为什么D2位的权值是100呢？这个100单位值是怎么算出来的呢？换句话说，单位值、权值是怎么算出来的呢？这就要说到权值公式了：

权值公式（单位值公式）

对于r进制，其Dn的权值等于r的n次方：D**n = rn**
对于10进制，其D2位的权值等于10的2次方

十进制计算公式举例

以数字 321.45 为例：

数值判定的方法：按权展开（当前位的数值与权值相乘），相加求和。

综上，多项式求和如下
321.45 = 310+210+110+410+5*10

对于我们不熟悉的数，怎么计算其大小？同样用这个方法，按权展开、相加求和：

二进制转成十进制计算公式举例

以数字 10111B 为例：

求解：按权展开，相加求和。多项式求和10111B结果如下（B是二进制角标，表示前边是一个二进制数）
10111B = 12+02+12+12+12 = 23D （D是十进制角标，表示前面是一个十进制数）
别忘了用位上的数值r

总结：按权值转其他进制为十进制数

按权相乘，多项求和：按权展开每一项（数值*权值），多项之间的乘积相加求和。
对任意数制中的数按权值展开成多项式求和，就是在把他转换成十进制数。

十六进制转十进制举例：

16进制的「1F」转成十进制的推算：

验证结果如下，没有问题：

2.3 数制转换

在线工具：https://tool.lu/hexconvert/ （用于验证）

把一个数转换成其他计数形式。比如把2进制转换为10进制，把16进制转换为2进制等。
二进制的（10111）等同于十进制的（23）只不过是一个数的不同形式之间进行转换而已。
**

数制转换的三种情况：

1. R进制转换为十进制：把非十进制数按权值展开成多项式求和即可（数值与权值相乘，多项之间相加求和。详细做法见上边第二节）计算的结果就是十进制数形式。
2. 十进制转换为R进制：
   1. 不带小数点：数值除以目标进制，得到商以后继续除以目标进制，直到商为0。然后反转得到的余数顺序后排列所有余数。
   2. 带小数点：小数点左侧（整数部分）同上一条。小数点右侧（小数部分）：小数部分数值乘以目标进制取整数，直到乘积的小数位变成0。最后按照所取整数按顺序排列放到小数位。
3. 二进制和八进制、十六进制之间的转换：3位二进制算1位八进制，4位二进制算一位十六进制。反之依然。
   

   R进制转换为十进制

   贴一张看不懂的图：

   基本思路：按权展开成多项式求和（数码乘以各自的权的累加求和）

   

注意⚠️：这种方法适用于转换成任何进制。

但是因为我们求和的时候，是按照十进制的加法运算规则进行计算的。所以得到的结果是十进制。
假如我们求和的时候，采用八进制运算规则求和，那么得到的结果就是八进制数。如下图：

练习题：

将以下非十进制数转换为十进制数
【1011.01 B】
【B7.F H】
【372.6 O】

问题：小数点怎么算的？

• .01转换称十进制是0.25，不知道怎么计算的额【10除以2、100除以2】
• .F是十六的负一次方，百度结果是0.9375，不知道怎么计算的。【先算16-1 10除以16，得到0.625，然后乘以10的负一次方（0.1）得到0.0625】

答案如下：

十进制转换为 R进制

基本思路：对转换结果进行逐位判断

1、先把整数部分和小数部分分别进行转换
2、再把两部分的转换结果拼接起来

举例-整数部分

例1、先来看一个十进制的例子：234D 转为 十进制的数
根据整数部分逐位判断方法：
数值除以目标进制，得到商以后继续除以目标进制，直到商为0。然后反转得到的余数顺序后排列所有余数。

如下图：234、23、2分别除以10，最终商成为0以后。按照分别除以10得到的4、3、2按照倒序排列后成为2、3、4。进行整合得到最终结果234。

例2、再来看一个二进制的例子：50.25D转为 二进制数
二进制形式逐位判断的方法：
整数部分：除以2取余数，直到商为0，所取余数自下向上排列
小数部分：乘以2取整数，直到乘积的小数部分为0。所取整数按顺序排列

整数部分计算如下：数值除以目标进制2，得到的商一直除以2直到商为0。除以2过程中得到的余数0、1、0、0、1、1，按顺序排列后再翻转过来整合一起，得到目标二进制数：110010

举例-小数部分

要想总结小数部分计算规律，先看如何分离出一个十进制纯小数的各个位。

方法是：乘以目标进制10，取整数，一直到乘积的小数部分为零。
例3、以0.25D为例转换为十进制：*
0.25 10 = 2.5， 取整得到2。留下0.5继续
0.5 * 10 = 5.0， 取整得到5，留下乘积的小数部分为0，结束。
最终，2、5按顺序排列，分别放到小数位的D-1、D-2位，就是0.25D

例4、以0.25D为例转换为二进制
0.25 2 = 0.5，取整得到0，留下0.5继续
0.5 2 = 1.0， 取整得到1，留下乘积的小数部分为0，结束
最终，0、1按顺序排列，分别放到小数位的D-1、D-2位，就是0.01B

总结：
小数值乘以目标进制取整数，所取整数按照顺序排列。直到乘积的小数位为0则停止。

所以，十进制数50.25D转换为二进制数计算结果如下：
整数部分：50D
50 / 2 = 25 … 0
25 / 2 = 12 … 1
12 / 2 = 6 … 0
6 / 2 = 3 … 0
3 / 2 = 1 … 1
1 / 2 = 0 … 1 商为0，停止🤚
商为0后，将余数倒叙排列：110010B
小数部分：0.25D
0.25 2 = 0.5 > 取整0。小数点位乘积不为零，继续
0.5 2 = 1.0 > 取整1。 小数点位乘积为零，停止🤚
小数点位乘积为零后，将取整的数按需排列到小数位：0.01B
整数结果与小数结果拼接，得到最终结果：110010.01 B

总结：

练习题

10101.101B = 21.625D（整数部分按权展开相加求和，得到21，小数部分2和2分别是0.5+0.125得到0.625）
75.43O = ？D
E2.1D H = ？D
127D = ？B = ？O = ？H
218.35D = ?B = ?O = ?H

答案：

1.（10101.101）B＝（ 21.625 ）D。
2.（75.43）O＝（61.546875）D
3.（E2.1D）H＝（ 226.1133 ）D。
4.（127）D＝（1111111）B＝（177）O＝（7F）H。
5.（218.35）D＝（11011010.01011）B＝（332.26）O＝（DA.58）H。

我的问题：

十进制的437转换为十六进制的数，我计算了两遍都是bb5，但是在线工具验证的是1b5，不知道我算的为啥不对。用数值一直除以16，得到三次余数分别是5、11、11，倒过来转换成十六进制后相加，得到的就是BB5啊。

二、八、十六进制之间的互相转换

二进制转八进制：分组

由于，每3位二进制数就可以转换成1位八进制数。所以二进制转八进制，可以采用分组转换的规则。

• 整数部分：自右向左分组，3位一组
• 小数部分：自左向右分组，3位一组
• 分组时，位数不够，用0补足。
• 最后把一组3位二进制数转换为1位八进制数，多个八进制数按序拼接

如下图，10011010110就可以从右向左三位一组，分成10、011、010、110四组。其中最左边不够三位的，用0补足成010。

3位二进制的数，可以对应转换成0-7之间的固定数。上边分组转换后得到的八进制数分别是：2、3、2、6。
按顺序从左到右整合到一起，得到最终结果就是2326O

二进制转十六进制

同理：只不过是按四组为一位进行转换。
10011010110进行分组后得到100、1101、0110，同样的，最左边不足4位的会被0补足为0100。
4位二进制的数，其取值在0-9+A-F之间，所以，上边分组后的数据分别得到4、D、6。
按照从左到右的顺序补足后，得到4D6H

八进制转二进制：拆分

每1位八进制数转换为与之相等的3位二进制数。
如下，将2426O转成二进制数，则可以分别将2、4、2、6转为二进制数：10、100、10、110
不足三位的最高位用0补足，得到010、100、010、110
然后拼接得到最终结果：010100010110（最终结果的最高位、即最左边的0可以去掉了就）
去掉最高位0，得到：10100010110B

十六进制转二进制

同上，把每1位十六进制数，转换成4位二进制数后，高位补0再拼合即可。最终结果再去掉最高位的多余的0。
如3D6：拆分位3、D、6，
分别转成二进制：11、1101、110
不足4位的高位补零：0011、1101、0110
最后拼合：001111010110
去掉最高位的多余0，最终结果：1111010110B

八进制与十六进制相互转换

八进制不能直接按位转换成十六进制，可以借助二进制过渡。（八）->（二）->（十六）

2、8、16进制数间的关系对照表

转换总结图：

作业：

用js封装几个函数，来进行进制转换。