53. 最大子序和

https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/

原题

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：
输入：nums = [0]
输出：0

示例 4：
输入：nums = [-1]
输出：-1

示例 5：
输入：nums = [-100000]
输出：-100000

提示：
1 <= nums.length <= 3 * 104
-105 <= nums[i] <= 105

进阶：如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

题目分析

这道题有多种解法，这里我们使用动态规划去解。
假设 nums 数组的长度为 n，下标从 0 到 n-1。
用 f(i) 代表以第 i 个数结尾的连续子数组的最大和，那么这道题的解法就是求 f(0) 到 f(n) 的最大值。

那我们拆解问题就可以拆解到 f(i) 是如何计算的，我们可以考虑到 nums[i] 单独成为一段还是加入 f(i - 1) 对应的那一段，这取决于 nums[i] 和 f(i - 1) + nums[i] 的大小，所以动态规划转移方程为：
f(i) = max{f(i - 1) + nums[i], nums[i]}

代码如下：

const maxSubArray = (nums) => {
  const dp = [nums[0]]
  for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
    dp[i] = Math.max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])
  }
  return Math.max(...dp)
}

时间复杂度为 o(n)，空间复杂度为 o(n)。

这里可以优化一下空间复杂度，因为我们只需要最大的值，所以我们可以使用变量 pre 来替代 dp 数组。

const maxSubArray = (nums) => {
  let pre = nums[0]
  let result = 0
  for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
    pre = Math.max(nums[i], pre + nums[i])
    result = Math.max(pre, result)
  }
  return result
}

时间复杂度为 o(n)，空间复杂度为 o(1)。