931. 下降路径最小和

https://leetcode-cn.com/problems/minimum-falling-path-sum/

原题

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：
输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：下面是两条和最小的下降路径，用加粗标注：
[[2,1,3], [[2,1,3],
[6,5,4], [6,5,4],
[7,8,9]] [7,8,9]]

示例 2：
输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：下面是一条和最小的下降路径，用加粗标注：
[[-19,57],
[-40,-5]]

示例 3：
输入：matrix = [[-48]]
输出：-48

提示：
n == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

题目分析

又是求最小值，先穷举，再优化。

可以看出我们求 matrix[0, 0] 到达底部的最小值为 2 + min(matrix[1, 0], matrix[1, 1])，求 matrix[0, 1] 到达底部的最小值为 1 + min(matrix[1, 0], matrix[1, 1], matrix[1, 2])。
因此可以写出递归函数为，使用 cache 来保存每一步子问题的结果：

const minFallingPathSum = (matrix) => {
  const rows = matrix.length
  const cols = matrix[0].length
  const cache = new Array(rows)
  const dp = (i, j) => {
    // 如果 j 已经到达最后一层，说明递归可以结束了
    if (i >= rows) return 0
    // 边界问题退出
    if (j < 0 || j >= cols) return Number.MAX_SAFE_INTEGER
    if (!cache[i]) cache[i] = []
    if (cache[i][j]) return cache[i][j]
    const leftBottom = dp(i + 1, j - 1)
    const bottom = dp(i + 1, j)
    const rightBottom = dp(i + 1, j + 1)
    cache[i][j] = matrix[i][j] + Math.min.apply(null, [leftBottom, bottom, rightBottom])
    return cache[i][j]
  }
  const pathSum = []
  for (let i = 0; i < cols; i++) {
    pathSum[i] = dp(0, i)
  }
  return Math.min(...pathSum)
}

时间复杂度为 o(n ^ 2)，空间复杂度为 o(n ^ 2)。
知道了递归自上而下的过程是为了求出 cache 数组，因此我们可以先求出 cache，直接返回 cache[0] 中的最小值。

const minFallingPathSum = (matrix) => {
  const cache = []
  const rows = matrix.length
  const cols = matrix[0].length
  for (let i = rows - 1; i >= 0; i--) {
    if (!cache[i]) cache[i] = []
    for (let j = 0; j < cols; j++) {
      if (i === rows - 1) {
        cache[i][j] = matrix[i][j]
      } else {
        const leftBottom = j - 1 < 0 ? Number.MAX_SAFE_INTEGER : cache[i + 1][j - 1]
        const bottom = cache[i + 1][j]
        const rightBottom = j + 1 >= cols ? Number.MAX_SAFE_INTEGER : cache[i + 1][j + 1]
        cache[i][j] = matrix[i][j] + Math.min(...[leftBottom, bottom, rightBottom])
      }
    }
  }
  return Math.min(...cache[0])
}

时间复杂度为 o(n ^ 2)，空间复杂度为 o(n ^ 2)。