0704.二分查找 - 图1
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704. 二分查找

力扣题目链接

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:

  1. 输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9     
  2. 输出: 4       
  3. 解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

  1. 输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2     
  2. 输出: -1        
  3. 解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

提示：

  • 你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
  • n 将在 [1, 10000]之间。
  • nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

思路

这道题目的前提是数组为有序数组，同时题目还强调数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的，这些都是使用二分法的前提条件，当大家看到题目描述满足如上条件的时候，可要想一想是不是可以用二分法了。

二分查找涉及的很多的边界条件，逻辑比较简单，但就是写不好。例如到底是 while(left < right) 还是 while(left <= right)，到底是right = middle呢，还是要right = middle - 1呢？

大家写二分法经常写乱，主要是因为对区间的定义没有想清楚，区间的定义就是不变量。要在二分查找的过程中，保持不变量，就是在while寻找中每一次边界的处理都要坚持根据区间的定义来操作，这就是循环不变量规则。

写二分法，区间的定义一般为两种，左闭右闭即[left, right]，或者左闭右开即[left, right)。

下面我用这两种区间的定义分别讲解两种不同的二分写法。

二分法第一种写法

第一种写法，我们定义 target 是在一个在左闭右闭的区间里，也就是[left, right] （这个很重要非常重要）。

区间的定义这就决定了二分法的代码应该如何写，因为定义target在[left, right]区间，所以有如下两点：

  • while (left <= right) 要使用 <= ，因为left == right是有意义的，所以使用 <=
  • if (nums[middle] > target) right 要赋值为 middle - 1，因为当前这个nums[middle]一定不是target，那么接下来要查找的左区间结束下标位置就是 middle - 1

例如在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：

0704.二分查找 - 图2

代码如下：（详细注释）

  1. // 版本一
  2. class Solution {
  3. public:
  4.     int search(vector<int>& nums, int target) {
  5.         int left = 0;
  6.         int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
  7.         while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
  8.             int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
  9.             if (nums[middle] > target) {
  10.                 right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
  11.             } else if (nums[middle] < target) {
  12.                 left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
  13.             } else { // nums[middle] == target
  14.                 return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
  15.             }
  16.         }
  17.         // 未找到目标值
  18.         return -1;
  19.     }
  20. };

二分法第二种写法

如果说定义 target 是在一个在左闭右开的区间里，也就是[left, right) ，那么二分法的边界处理方式则截然不同。

有如下两点：

  • while (left < right)，这里使用 < ,因为left == right在区间[left, right)是没有意义的
  • if (nums[middle] > target) right 更新为 middle，因为当前nums[middle]不等于target，去左区间继续寻找，而寻找区间是左闭右开区间，所以right更新为middle，即：下一个查询区间不会去比较nums[middle]

在数组：1,2,3,4,7,9,10中查找元素2，如图所示：（注意和方法一的区别）

0704.二分查找 - 图3

代码如下：（详细注释）

  1. // 版本二
  2. class Solution {
  3. public:
  4.     int search(vector<int>& nums, int target) {
  5.         int left = 0;
  6.         int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
  7.         while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
  8.             int middle = left + ((right - left) >> 1);
  9.             if (nums[middle] > target) {
  10.                 right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
  11.             } else if (nums[middle] < target) {
  12.                 left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
  13.             } else { // nums[middle] == target
  14.                 return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
  15.             }
  16.         }
  17.         // 未找到目标值
  18.         return -1;
  19.     }
  20. };

总结

二分法是非常重要的基础算法，为什么很多同学对于二分法都是一看就会，一写就废？

其实主要就是对区间的定义没有理解清楚，在循环中没有始终坚持根据查找区间的定义来做边界处理。

区间的定义就是不变量，那么在循环中坚持根据查找区间的定义来做边界处理，就是循环不变量规则。

本篇根据两种常见的区间定义，给出了两种二分法的写法，每一个边界为什么这么处理，都根据区间的定义做了详细介绍。

相信看完本篇应该对二分法有更深刻的理解了。

相关题目推荐

其他语言版本

Java：

（版本一）左闭右闭区间

  1. class Solution {
  2.     public int search(int[] nums, int target) {
  3.         // 避免当 target 小于nums[0] nums[nums.length - 1]时多次循环运算
  4.         if (target < nums[0] || target > nums[nums.length - 1]) {
  5.             return -1;
  6.         }
  7.         int left = 0, right = nums.length - 1;
  8.         while (left <= right) {
  9.             int mid = left + ((right - left) >> 1);
  10.             if (nums[mid] == target)
  11.                 return mid;
  12.             else if (nums[mid] < target)
  13.                 left = mid + 1;
  14.             else if (nums[mid] > target)
  15.                 right = mid - 1;
  16.         }
  17.         return -1;
  18.     }
  19. }

（版本二）左闭右开区间

  1. class Solution {
  2.     public int search(int[] nums, int target) {
  3.         int left = 0, right = nums.length;
  4.         while (left < right) {
  5.             int mid = left + ((right - left) >> 1);
  6.             if (nums[mid] == target)
  7.                 return mid;
  8.             else if (nums[mid] < target)
  9.                 left = mid + 1;
  10.             else if (nums[mid] > target)
  11.                 right = mid;
  12.         }
  13.         return -1;
  14.     }
  15. }

Python：

（版本一）左闭右闭区间

  1. class Solution:
  2.     def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
  3.         left, right = 0, len(nums) - 1
  5.         while left <= right:
  6.             middle = (left + right) // 2
  8.             if nums[middle] < target:
  9.                 left = middle + 1
  10.             elif nums[middle] > target:
  11.                 right = middle - 1
  12.             else:
  13.                 return middle
  14.         return -1

（版本二）左闭右开区间

  1. class Solution:
  2.     def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
  3.         left,right  =0, len(nums)
  4.         while left < right:
  5.             mid = (left + right) // 2
  6.             if nums[mid] < target:
  7.                 left = mid+1
  8.             elif nums[mid] > target:
  9.                 right = mid
  10.             else:
  11.                 return mid
  12.         return -1

Go：

（版本一）左闭右闭区间

  1. func search(nums []int, target int) int {
  2.     high := len(nums)-1
  3.     low := 0
  4.     for low <= high {
  5.         mid := low + (high-low)/2
  6.         if nums[mid] == target {
  7.             return mid
  8.         } else if nums[mid] > target {
  9.             high = mid-1
  10.         } else {
  11.             low = mid+1
  12.         }
  13.     }
  14.     return -1
  15. }

（版本二）左闭右开区间

  1. func search(nums []int, target int) int {
  2.     high := len(nums)
  3.     low := 0
  4.     for low < high {
  5.         mid := low + (high-low)/2
  6.         if nums[mid] == target {
  7.             return mid
  8.         } else if nums[mid] > target {
  9.             high = mid
  10.         } else {
  11.             low = mid+1
  12.         }
  13.     }
  14.     return -1
  15. }

JavaScript:
（版本一）左闭右闭区间

  1. /**
  2.  * @param {number[]} nums
  3.  * @param {number} target
  4.  * @return {number}
  5.  */
  6. var search = function(nums, target) {
  7.     let left = 0, right = nums.length - 1;
  8.     // 使用左闭右闭区间
  9.     while (left <= right) {
  10.         let mid = left + Math.floor((right - left)/2);
  11.         if (nums[mid] > target) {
  12.             right = mid - 1;  // 去左面闭区间寻找
  13.         } else if (nums[mid] < target) {
  14.             left = mid + 1;   // 去右面闭区间寻找
  15.         } else {
  16.             return mid;
  17.         }
  18.     }
  19.     return -1;
  20. };

（版本二）左闭右开区间

  1. /**
  2.  * @param {number[]} nums
  3.  * @param {number} target
  4.  * @return {number}
  5.  */
  6. var search = function(nums, target) {
  7.     let left = 0, right = nums.length;
  8.     // 使用左闭右开区间 [left, right)
  9.     while (left < right) {
  10.         let mid = left + Math.floor((right - left)/2);
  11.         if (nums[mid] > target) {
  12.             right = mid;  // 去左区间寻找
  13.         } else if (nums[mid] < target) {
  14.             left = mid + 1;   // 去右区间寻找
  15.         } else {
  16.             return mid;
  17.         }
  18.     }
  19.     return -1;
  20. };

TypeScript

（版本一）左闭右闭区间

  1. function search(nums: number[], target: number): number {
  2.     let left: number = 0, right: number = nums.length - 1;
  3.     while (left <= right) {
  4.         let mid: number = left + Math.floor((right - left) / 2);
  5.         if (nums[mid] > target) {
  6.             right = mid - 1;
  7.         } else if (nums[mid] < target) {
  8.             left = mid + 1;
  9.         } else {
  10.             return mid;
  11.         }
  12.     }
  13.     return -1;
  14. };

（版本二）左闭右开区间

  1. function search(nums: number[], target: number): number {
  2.     let left: number = 0, right: number = nums.length;
  3.     while (left < right) {
  4.         let mid: number = left + Math.floor((right - left) / 2);
  5.         if (nums[mid] > target) {
  6.             right = mid;
  7.         } else if (nums[mid] < target) {
  8.             left = mid + 1;
  9.         } else {
  10.             return mid;
  11.         }
  12.     }
  13.     return -1;
  14. };

Ruby:

  1. # （版本一）左闭右闭区间
  3. def search(nums, target)
  4.   left, right = 0, nums.length - 1
  5.   while left <= right    # 由于定义target在一个在左闭右闭的区间里，因此极限情况下存在left==right
  6.     middle = (left + right) / 2
  7.     if nums[middle] > target
  8.       right = middle - 1
  9.     elsif nums[middle] < target
  10.       left = middle + 1
  11.     else
  12.       return middle    # return兼具返回与跳出循环的作用
  13.     end
  14.   end
  15.   -1
  16. end
  18. # （版本二）左闭右开区间
  20. def search(nums, target)
  21.   left, right = 0, nums.length
  22.   while left < right    # 由于定义target在一个在左闭右开的区间里，因此极限情况下right=left+1
  23.     middle = (left + right) / 2
  24.     if nums[middle] > target
  25.       right = middle
  26.     elsif nums[middle] < target
  27.       left = middle + 1
  28.     else
  29.       return middle
  30.     end
  31.   end
  32.   -1
  33. end

Swift:

  1. // （版本一）左闭右闭区间
  2. func search(nums: [Int], target: Int) -> Int {
  3.     // 1. 先定义区间。这里的区间是[left, right]
  4.     var left = 0
  5.     var right = nums.count - 1
  7.     while left <= right {// 因为taeget是在[left, right]中，包括两个边界值，所以这里的left == right是有意义的
  8.         // 2. 计算区间中间的下标（如果left、right都比较大的情况下，left + right就有可能会溢出）
  9.         // let middle = (left + right) / 2
  10.         // 防溢出：
  11.          let middle = left + (right - left) / 2
  13.         // 3. 判断
  14.         if target < nums[middle] {
  15.             // 当目标在区间左侧，就需要更新右边的边界值，新区间为[left, middle - 1]
  16.             right = middle - 1
  17.         } else if target > nums[middle] {
  18.             // 当目标在区间右侧，就需要更新左边的边界值，新区间为[middle + 1, right]
  19.             left = middle + 1
  20.         } else { 
  21.             // 当目标就是在中间，则返回中间值的下标
  22.             return middle
  23.         }
  24.     }
  26.     // 如果找不到目标，则返回-1
  27.     return -1
  28. }
  30. // （版本二）左闭右开区间
  31. func search(nums: [Int], target: Int) -> Int {
  32.     var left = 0
  33.     var right = nums.count
  35.     while left < right {
  36.         let middle = left + ((right - left) >> 1)
  38.         if target < nums[middle] {
  39.             right = middle
  40.         } else if target > nums[middle] {
  41.             left = middle + 1
  42.         } else {
  43.             return middle
  44.         }
  45.     }
  47.     return -1
  48. }

Rust:

  1. # （版本一）左闭右闭区间
  3. impl Solution {
  4.     pub fn search(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
  5.         let mut left:usize = 0;
  6.         let mut right:usize = nums.len() - 1;
  7.         while left as i32 <= right as i32{
  8.             let mid = (left + right) / 2;
  9.             if nums[mid] < target {
  10.                 left = mid + 1;
  11.             } else if nums[mid] > target {
  12.                 right = mid - 1;
  13.             } else {
  14.                 return mid as i32;
  15.             }
  16.         }
  17.         -1
  18.     }
  19. }
  21. # （版本二）左闭右开区间
  23. impl Solution {
  24.     pub fn search(nums: Vec<i32>, target: i32) -> i32 {
  25.         let mut left:usize = 0;
  26.         let mut right:usize = nums.len();
  27.         while left < right {
  28.             let mid = (left + right) / 2;
  29.             if nums[mid] < target {
  30.                 left = mid + 1;
  31.             } else if nums[mid] > target {
  32.                 right = mid;
  33.             } else {
  34.                 return mid as i32;
  35.             }
  36.         }
  37.         -1
  38.     }
  39. }

C:

  1. int search(int* nums, int numsSize, int target){
  2.     int left = 0;
  3.     int right = numsSize-1;
  4.     int middle = 0;
  5.     //若left小于等于right，说明区间中元素不为0
  6.     while(left<=right) {
  7.         //更新查找下标middle的值
  8.         middle = (left+right)/2;
  9.         //此时target可能会在[left,middle-1]区间中
  10.         if(nums[middle] > target) {
  11.             right = middle-1;
  12.         } 
  13.         //此时target可能会在[middle+1,right]区间中
  14.         else if(nums[middle] < target) {
  15.             left = middle+1;
  16.         } 
  17.         //当前下标元素等于target值时，返回middle
  18.         else if(nums[middle] == target){
  19.             return middle;
  20.         }
  21.     }
  22.     //若未找到target元素，返回-1
  23.     return -1;
  24. }

PHP:

  1. // 左闭右闭区间
  2. class Solution {
  3.     /**
  4.      * @param Integer[] $nums
  5.      * @param Integer $target
  6.      * @return Integer
  7.      */
  8.     function search($nums, $target) {
  9.         if (count($nums) == 0) {
  10.             return -1;
  11.         }
  12.         $left = 0;
  13.         $right = count($nums) - 1;
  14.         while ($left <= $right) {
  15.             $mid = floor(($left + $right) / 2);
  16.             if ($nums[$mid] == $target) {
  17.                 return $mid;
  18.             }
  19.             if ($nums[$mid] > $target) {
  20.                 $right = $mid - 1;
  21.             }
  22.             else {
  23.                 $left = $mid + 1;
  24.             }
  25.         }
  26.         return -1;
  27.     }
  28. }

C#:

  1. //左闭右闭
  2. public class Solution {  
  3.     public int Search(int[] nums, int target) {
  4.         int left = 0;
  5.         int right = nums.Length - 1;
  6.         while(left <= right){
  7.             int mid = (right - left ) / 2 + left;
  8.             if(nums[mid] == target){
  9.                 return mid;
  10.             }
  11.             else if(nums[mid] < target){
  12.                 left = mid+1;
  13.             }
  14.             else if(nums[mid] > target){
  15.                 right = mid-1;
  16.             }
  17.         }
  18.         return -1;
  19.     }
  20. }
  22. //左闭右开
  23. public class Solution{
  24.     public int Search(int[] nums, int target){
  25.         int left = 0;
  26.         int right = nums.Length;
  27.         while(left < right){
  28.             int mid = (right - left) / 2 + left;
  29.             if(nums[mid] == target){
  30.                 return mid;
  31.             }
  32.             else if(nums[mid] < target){
  33.                 left = mid + 1;
  34.             }
  35.             else if(nums[mid] > target){
  36.                 right = mid;
  37.             }
  38.         }
  39.         return -1;
  40.     }
  41. }

0704.二分查找 - 图4