动态规划：关于多重背包，你该了解这些！

之前我们已经系统的讲解了01背包和完全背包，如果没有看过的录友，建议先把如下三篇文章仔细阅读一波。

这次我们再来说一说多重背包

多重背包

对于多重背包，我在力扣上还没发现对应的题目，所以这里就做一下简单介绍，大家大概了解一下。

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的，为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如：

背包最大重量为10。

物品为：

	重量	价值	数量
物品0	1	15	2
物品1	3	20	3
物品2	4	30	2

问背包能背的物品最大价值是多少？

和如下情况有区别么？

	重量	价值	数量
物品0	1	15	1
物品0	1	15	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品2	4	30	1
物品2	4	30	1

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

这种方式来实现多重背包的代码如下：

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums[i] > 1) { // nums[i]保留到1，把其他物品都展开
            weight.push_back(weight[i]);
            value.push_back(value[i]);
            nums[i]--;
        }
    }
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_multi_pack();
}

时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。

代码如下：（详看注释）

void test_multi_pack() {
    vector<int> weight = {1, 3, 4};
    vector<int> value = {15, 20, 30};
    vector<int> nums = {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
        }
        // 打印一下dp数组
        for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
            cout << dp[j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    test_multi_pack();
}

时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。和01背包还是如出一辙的。

当然还有那种二进制优化的方法，其实就是把每种物品的数量，打包成一个个独立的包。

和以上在循环遍历上有所不同，因为是分拆为各个包最后可以组成一个完整背包，具体原理我就不做过多解释了，大家了解一下就行，面试的话基本不会考完这个深度了，感兴趣可以自己深入研究一波。

总结

多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。

至于背包九讲里面还有混合背包，二维费用背包，分组背包等等这些，大家感兴趣可以自己去学习学习，这里也不做介绍了，面试也不会考。

其他语言版本

Java：

public void testMultiPack1(){
    // 版本一：改变物品数量为01背包格式
    List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));
    List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));
    List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums.get(i) > 1) { // 把物品展开为i
            weight.add(weight.get(i));
            value.add(value.get(i));
            nums.set(i, nums.get(i) - 1);
        }
    }
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) { // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }
}
public void testMultiPack2(){
    // 版本二：改变遍历个数
    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    int[] nums = new int[] {2, 3, 2};
    int bagWeight = 10;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.length; i++) { // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
            // 以上为01背包，然后加一个遍历个数
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
            System.out.println(Arrays.toString(dp));
        }
    }
}

Python：

def test_multi_pack1():
    '''版本一：改变物品数量为01背包格式'''
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    nums = [2, 3, 2]
    bag_weight = 10
    for i in range(len(nums)):
        # 将物品展开数量为1
        while nums[i] > 1:
            weight.append(weight[i])
            value.append(value[i])
            nums[i] -= 1
    dp = [0]*(bag_weight + 1)
    # 遍历物品
    for i in range(len(weight)):
        # 遍历背包
        for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    print(" ".join(map(str, dp)))
def test_multi_pack2():
    '''版本：改变遍历个数'''
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    nums = [2, 3, 2]
    bag_weight = 10
    dp = [0]*(bag_weight + 1)
    for i in range(len(weight)):
        for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):
            # 以上是01背包，加上遍历个数
            for k in range(1, nums[i] + 1):
                if j - k*weight[i] >= 0:
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - k*weight[i]] + k*value[i])
    print(" ".join(map(str, dp)))
if __name__ == '__main__':
    test_multi_pack1()
    test_multi_pack2()

Go：

package theory
import "log"
// 多重背包可以化解为 01 背包
func multiplePack(weight, value, nums []int, bagWeight int) int {
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        for nums[i] > 1 {
            weight = append(weight, weight[i])
            value = append(value, value[i])
            nums[i]--
        }
    }
    log.Println(weight)
    log.Println(value)
    res := make([]int, bagWeight+1)
    for i := 0; i < len(weight); i++ {
        for j := bagWeight; j >= weight[i]; j-- {
            res[j] = getMax(res[j], res[j-weight[i]]+value[i])
        }
        log.Println(res)
    }
    return res[bagWeight]
}

单元测试

package theory
import "testing"
func Test_multiplePack(t *testing.T) {
    type args struct {
        weight    []int
        value     []int
        nums      []int
        bagWeight int
    }
    tests := []struct {
        name string
        args args
        want int
    }{
        {
            name: "one",
            args: args{
                weight:    []int{1, 3, 4},
                value:     []int{15, 20, 30},
                nums:      []int{2, 3, 2},
                bagWeight: 10,
            },
            want: 90,
        },
    }
    for _, tt := range tests {
        t.Run(tt.name, func(t *testing.T) {
            if got := multiplePack(tt.args.weight, tt.args.value, tt.args.nums, tt.args.bagWeight); got != tt.want {
                t.Errorf("multiplePack() = %v, want %v", got, tt.want)
            }
        })
    }
}

输出

=== RUN   Test_multiplePack
=== RUN   Test_multiplePack/one
2022/03/02 21:09:05 [1 3 4 1 3 3 4]
2022/03/02 21:09:05 [15 20 30 15 20 20 30]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 15 20 35 35 35 35 35 35 35]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 15 20 35 45 45 50 65 65 65]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 65 80 80]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 70 80 80]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 70 80 80]
2022/03/02 21:09:05 [0 15 30 30 35 50 60 60 70 80 90]
--- PASS: Test_multiplePack (0.00s)
    --- PASS: Test_multiplePack/one (0.00s)
PASS

背包问题理论基础多重背包 - 图2