极大似然估计

1 先看一个例子帮助理解极大似然估计

假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？
很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？
我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。
这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的,三十次为黑球事件的概率是P(样本结果|Model)。
如果第一次抽象的结果记为x1,第二次抽样的结果记为x2….那么样本结果为(x1,x2…..,x100)。这样，我们可以得到如下表达式：
P(样本结果|Model)
= P(x1,x2,…,x100|Model)
= P(x1|Mel)P(x2|M)…P(x100|M)
= p^70(1-p)^30.
好的，我们已经有了观察样本结果出现的概率表达式了。那么我们要求的模型的参数，也就是求的式中的p。
那么我们怎么来求这个p呢？
不同的p，直接导致P（样本结果|Model）的不同。
好的，我们的p实际上是有无数多种分布的。如下：

那么求出 p^70(1-p)^30为 7.8 * 10^(-31)
p的分布也可以是如下：

那么也可以求出p^70(1-p)^30为2.95 10^(-27)
那么问题来了，既然有无数种分布可以选择，极大似然估计应该按照什么原则去选取这个分布呢？
答：采取的方法是让这个样本结果出现的可能性最大，也就是使得p^70(1-p)^30值最大，那么我们就可以看成是p的方程，求导即可！
那么既然事情已经发生了，为什么不让这个出现的结果的可能性最大呢？这也就是最大似然估计的核心。
*我们想办法让观察样本出现的概率最大，转换为数学问题就是使得：
p^70(1-p)^30最大，这太简单了，未知数只有一个p，我们令其导数为0，即可求出p为70%，与我们一开始认为的70%是一致的。其中蕴含着我们的数学思想在里面。（实际情况p由多种参数确定，所以需要确定具体参数使得式子p^70(1-p)^30最大）

2 似然函数

• 似然（likelihood）这个词其实和概率（probability）是差不多的意思，但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念（其实也很相近就是了）。
• 对于函数

输入有两个：x表示某一个具体的数据；θ表示模型的参数。
如果θ是已知确定的，x是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。
如果x是已知确定的，θ是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现x这个样本点的概率是多少。

3 极大似然估计

• 核心是“模型已定（概率分布形式已定），参数未知”

通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值，即令每个样本属于其真实标记的概率越大越好。
换句话说，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。

• 极大似然估计中采样需满足一个重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。
• 具体步骤

估计类条件概率参数
1.先假设类条件概率具有某种确定的概率分布形式（如p=f(θ)），
2.再基于训练样本对概率分布的参数进行估计

• 现记关于类别c的类条件概率为P(x|c)，假设P(x|c)具有确定的分布形式且被参数向量θc唯一确定，则我们的任务就是利用训练集D估计参数，为明确起见，将P(x|c)记为P(x|θc)
• 令表示训练集D中第c类样本组成的集合，由于这些样本是独立同分布的，所以联合分布可用乘法，则我们可以列出在数据集D上的联合分布律：

这个联合分布律L(θc__)称为相对于数据集_D_c的似然函数
上式中的连乘操作容易造成下溢出，通常使用对数似然函数（log-likelihood）

• 对θc进行极大似然估计，就是去寻找最大化似然函数LL(θc__)的参数值

换句话说就是试图在的所有可能的取值中，找到一个能使样本出现的可能性最大的值。则