1、排序算法介绍
1.1、排序算法的简介
排序也称排序算法(Sort Algorithm)， 排序是将一组数据， 依指定的顺序进行排列的过程。
1.2、排序算法的分类
内部排序：指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存)中进行排序。
- 外部排序法：数据量过大， 无法全部加载到内存中， 需要借助外部存储(文件等)进行排序。
- 常见的排序算法分类
2、算法的复杂度
2.1、时间复杂度的度量方法
- 事后统计的方法：这种方法可行, 但是有两个问题：
一是要想对设计的算法的运行性能进行评测， 需要实际运行该程序；
二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、 软件等环境因素, 这种方式， 要在同一台计算机的相同状态下运行， 才能比较哪个算法速度更快。
- 事前估算的方法：通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优
2.2、时间频度
- 基本介绍时间频度： 一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例， 哪个算法中语句执行次数多， 它花费时间就多。 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。 记为 T(n)。 [举例说明]
- 举例说明-基本案例：比如计算 1-100 所有数字之和，我们设计两种算法：
```java
int tatal =0;int end =100;//使用for循环计算for (int i = 0; i <=end; i++){tatal+=i;}
T(n) =n+1;
//直接计算
tatal=(1+end)*end/2;
T(n) =1;
- 举例说明-忽略常数项：
- 2n+20 和 2n 随着 n 变大， 执行曲线无限接近, 20 可以忽略
- 3n+10 和 3n 随着 n 变大， 执行曲线无限接近, 10 可以忽略
- 举例说明-忽略低次项：
- 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
- n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20
- 举例说明-忽略系数：
- 随着 n 值变大， 5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ， 执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
- 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ， 执行曲线分离， 说明多少次方式关键
<a name="w0mAx"></a>
### 2.3、时间复杂度
- 事后统计的方法：这种方法可行, 但是有两个问题：
一是要想对设计的算法的运行性能进行评测， 需要实际运行该程序；<br />二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、 软件等环境因素, 这种方式， 要在同一台计算机的相同状态下运行， 才能比较哪个算法速度更快。
- 事前估算的方法：通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优
<a name="ZrHN5"></a>
### 2.2、时间频度
- 基本介绍时间频度： 一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例， 哪个算法中语句执行次数多， 它花费时间就多。 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。 记为 T(n)。 [举例说明]
- 举例说明-基本案例：比如计算 1-100 所有数字之和，我们设计两种算法：
- 举例说明-忽略常数项：
- 2n+20 和 2n 随着 n 变大， 执行曲线无限接近, 20 可以忽略
- 3n+10 和 3n 随着 n 变大， 执行曲线无限接近, 10 可以忽略
- 举例说明-忽略低次项：
- 2n^2+3n+10 和 2n^2 随着 n 变大, 执行曲线无限接近, 可以忽略 3n+10
- n^2+5n+20 和 n^2 随着 n 变大,执行曲线无限接近, 可以忽略 5n+20
- 举例说明-忽略系数：
- 随着 n 值变大， 5n^2+7n 和 3n^2 + 2n ， 执行曲线重合, 说明 这种情况下, 5 和 3 可以忽略。
- 而 n^3+5n 和 6n^3+4n ， 执行曲线分离， 说明多少次方式关键
<a name="nfbjz"></a>
### 2.3、时间复杂度
- 一般情况下， 算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数， 用 T(n)表示， 若有某个辅助函数 f(n)， 使得当 n 趋近于无穷大时， T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数， 则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ ( f(n) )， 称Ｏ ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度， 简称时间复杂度。
- T(n) 不同， 但时间复杂度可能相同。 如： T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同， 但时间复杂度相同， 都为 O(n²)。
- 计算时间复杂度的方法：
用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1<br />修改后的运行次数函数中， 只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²<br />去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)<br />[
](https://blog.csdn.net/oneby1314/article/details/107847693)
<a name="J5vC3"></a>
### 2.4、常见的时间复杂度
<a name="GHega"></a>
#### 2.4.1、常见时间复杂度概述
- 常见时间复杂度
- 常数阶 O(1)
- 对数阶 O(log2n)
- 线性阶 O(n)
- 线性对数阶 O(nlog2n)
- 平方阶 O(n^2)
- 立方阶 O(n^3)
- k 次方阶 O(n^k)
- 指数阶 O(2^n)
结论：
常见的算法时间复杂度由小到大依次为： Ο (1)＜Ο (log2n)＜Ο (n)＜Ο (nlog2n)＜Ο (n2)＜Ο (n3)＜ Ο (nk) ＜ Ο (2n) ， 随着问题规模 n 的不断增大， 上述时间复杂度不断增大， 算法的执行效率越低<br />从图中可见， 我们应该尽可能避免使用指数阶的算法<br />
<a name="U13ox"></a>
#### 2.4.2、常数阶 O(1)
- 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
- 代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。
<a name="JREAJ"></a>
#### 2.4.3、对数阶 O(log2n)
<br />
<a name="rvSjL"></a>
#### 2.4.4、线性阶 O(n)
- **说明**：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度
<a name="jUX1o"></a>
#### 2.4.5、线性对数阶 O(nlogN)
- **说明**：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)
<a name="TjPzb"></a>
#### 2.4.6、平方阶 O(n²)
- **说明**：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)
<a name="m2WAL"></a>
#### 2.4.7、其他阶
- 立方阶 O(n³)、 K 次方阶 O(n^k)
- 说明： 参考上面的 O(n²) 去理解就好了， O(n³)相当于三层 n 循环， 其它的类似
<a name="X0JU2"></a>
### 2.5、平均和最坏时间复杂度
平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下， 该算法的运行时间。<br />最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。 一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是： 最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限， 这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。<br />平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致， 和算法有关(如图)。<br />
<a name="fuXOF"></a>
### 2.6、算法的空间复杂度
- 类似于时间复杂度的讨论， 一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间， 它也是问题规模 n 的函数。
- 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。 有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关， 它随着 n 的增大而增大， 当 n 较大时， 将占用较多的存储单元， 例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
- 在做算法分析时， 主要讨论的是时间复杂度。 从用户使用体验上看， 更看重的程序执行的速度。 一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间
<a name="hGa2t"></a>
## 3、冒泡排序
<a name="dsZyl"></a>
### 3.1、基本介绍
- 冒泡排序（Bubble Sorting） 的基本思想是： **通过对待排序序列从前向后（从下标较小的元素开始），依次比较相邻元素的值， 若发现逆序则交换， 使值较大的元素逐渐从前移向后部， 就象水底下的气泡一样逐渐向上冒。**
- 优化：因为排序的过程中， 各元素不断接近自己的位置， 如果一趟比较下来没有进行过交换， 就说明序列有序， **因此要在排序过程中设置一个标志 flag 判断元素是否进行过交换。 从而减少不必要的比较**。 (这里说的优化， 可以在冒泡排序写好后， 再进行)
<a name="Ybv64"></a>
### 3.2、冒泡排序图解
- 第一趟：
- 从数组 arr 第一个元素开始，与其后面一个元素比较大小
- 如果 arr[i] > arr[i+1] ，则交换，将大的元素换到后面去
- 由于是当前元素与其后面一个元素比较大小，所以只需要执行 arr.length - 1 次循环
- 第二趟：
- 从数组 arr 第一个元素开始，与其后面一个元素比较大小
- 由于第一趟排序完成，数组最后一个元素已是最大元素，所以只需要执行 arr.length - 1 - 1 次循环
- 啥时候完成？下面两个条件满足任意一个即可：
- 当其中有一趟排序没有元素交换位置时，说明数组已经有序
- 或：按照上述流程，跑完第 **arr.length - 1** 趟之后
- 这样来想：5 个元素的数组，最多只需要跑 4 趟
- 为什么最多只需要跑 4 趟？因为跑完 4 趟之后，数组第二个元素已经成为了数组第二小的元素，那么数组自然就是有序数组
- 即数组长度如果为 n ，那么则需要跑 n - 1 趟
总结：两层 for 循环
- 第一层 for 循环控制走多少趟：for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
- 第二层 for 循环实现针对该趟循环，进行冒泡：for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
- 伪代码：
```java
for (int i = 0; i < ; i++) {
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
// 执行冒泡操作
}
if(/* 该趟没有交换 */) {
// 数组已然有序，跳出循环
}
}
3.3、代码实现
3.3.1、理解冒泡排序
上面的例子不好，我们把数组改成：int arr[] = { 3, 9, -1, 10, -2 }; 这样更能说明冒泡排序的特点 ```java public static void main(String[] args) { int arr[] = { 3, 9, -1, 10, -2 }; int temp;
// 为了容量理解，我们把冒泡排序的演变过程，给大家展示 System.out.println(“排序前”); System.out.println(Arrays.toString(arr));
// 第一趟排序，就是将最大的数排在倒数第一位 for (int j = 0; j < arr.length - 1; j++) {
// 如果前面的数比后面的数大，则交换 if (arr[j] > arr[j + 1]) { temp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = temp; }} System.out.println(“第一趟排序后的数组”); System.out.println(Arrays.toString(arr));
// 第二趟排序，就是将第二大的数排在倒数第二位 for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 1; j++) {
// 如果前面的数比后面的数大，则交换 if (arr[j] > arr[j + 1]) { temp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = temp; }} System.out.println(“第二趟排序后的数组”); System.out.println(Arrays.toString(arr));
// 第三趟排序，就是将第三大的数排在倒数第三位 for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 2; j++) {
// 如果前面的数比后面的数大，则交换 if (arr[j] > arr[j + 1]) { temp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = temp; }} System.out.println(“第三趟排序后的数组”); System.out.println(Arrays.toString(arr));
// 第四趟排序，就是将第4大的数排在倒数第4位 for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 3; j++) {
// 如果前面的数比后面的数大，则交换 if (arr[j] > arr[j + 1]) { temp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = temp; }} System.out.println(“第四趟排序后的数组”); System.out.println(Arrays.toString(arr)); }
- 程序运行结果
```java
排序前
[3, 9, -1, 10, -2]
第一趟排序后的数组
[3, -1, 9, -2, 10]
第二趟排序后的数组
[-1, 3, -2, 9, 10]
第三趟排序后的数组
[-1, -2, 3, 9, 10]
第四趟排序后的数组
[-2, -1, 3, 9, 10]
3.3.2、编写冒泡排序
测试极端情况 ```java public static void main(String[] args) { int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 };
// 为了容量理解，我们把冒泡排序的演变过程，给大家展示 System.out.println(“排序前”); System.out.println(Arrays.toString(arr));
bubbleSort(arr); }
// 将前面额冒泡排序算法，封装成一个方法 public static void bubbleSort(int[] arr) { // 冒泡排序 的时间复杂度 O(n^2), 自己写出 int temp = 0; // 临时变量 boolean flag = false; // 标识变量，表示是否进行过交换 for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) { for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) { // 如果前面的数比后面的数大，则交换 if (arr[j] > arr[j + 1]) { flag = true; temp = arr[j]; arr[j] = arr[j + 1]; arr[j + 1] = temp; } } System.out.println(“第” + (i + 1) + “趟排序后的数组”); System.out.println(Arrays.toString(arr)); if (!flag) { // 在一趟排序中，一次交换都没有发生过 break; } else { flag = false; // 重置flag!!!, 进行下次判断 } } }
- 程序运行结果
```java
排序前
[1, 2, 3, 4, 5, 6]
第1趟排序后的数组
[1, 2, 3, 4, 5, 6]
3.3.3、测试冒泡排序性能
测试代码 ```java public static void main(String[] args) {
// 测试一下冒泡排序的速度O(n^2), 给80000个数据，测试 // 创建要给80000个的随机的数组 int[] arr = new int[80000]; for (int i = 0; i < 80000; i++) {
arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数}
Date date1 = new Date(); SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat(“yyyy-MM-dd HH:mm:ss”); String date1Str = simpleDateFormat.format(date1); System.out.println(“排序前的时间是=” + date1Str);
// 测试冒泡排序 bubbleSort(arr);
Date date2 = new Date(); String date2Str = simpleDateFormat.format(date2); System.out.println(“排序后的时间是=” + date2Str);
}
// 将前面额冒泡排序算法，封装成一个方法 public static void bubbleSort(int[] arr) { // 冒泡排序 的时间复杂度 O(n^2), 自己写出 int temp = 0; // 临时变量 boolean flag = false; // 标识变量，表示是否进行过交换 for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
// 如果前面的数比后面的数大，则交换
if (arr[j] > arr[j + 1]) {
flag = true;
temp = arr[j];
arr[j] = arr[j + 1];
arr[j + 1] = temp;
}
}
if (!flag) { // 在一趟排序中，一次交换都没有发生过
break;
} else {
flag = false; // 重置flag!!!, 进行下次判断
}
}
}
- 程序运行结果
```java
排序前的时间是=2020-07-15 11:44:08
排序后的时间是=2020-07-15 11:44:16
4、选择排序
4.1、选择排序基本介绍
选择式排序也属于内部排序法， 是从欲排序的数据中， 按指定的规则选出某一元素， 再依规定交换位置后达到排序的目的。
4.2、选择排序思想
选择排序（select sorting） 也是一种简单的排序方法。 它的基本思想是（n 是数组大小）：
第一次从 arr[0]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[0] 交换
第二次从 arr[1]~arr[n-1]中选取最小值， 与 arr[1] 交换
第三次从 arr[2]~arr[n-1]中选取最小值， 与 arr[2] 交换， …，
第 i 次从 arr[i-1]~arr[n-1]中选取最小值， 与 arr[i-1] 交换， …，
第 n-1 次从 arr[n-2]~arr[n-1]中选取最小值，与 arr[n-2] 交换，
总共通过 n-1 次， 得到一个按排序码从小到大排列的有序序列。
4.3、选择排序图解
- 选择排序流程：
第一次循环，默认 arr[0] 是最小的元素，将其与 arr[1]~arr[n-1] 进行比较，找到最小的元素，并与 arr[0] 的位置位置
第二次循环，默认 arr[1] 是最小的元素，将其与 arr[2]~arr[n-1] 进行比较，找到最小的元素，并与 arr[1] 的位置位置
第 i 次循环，默认 arr[i] 是最小的元素，将其与 arr[i+1]~arr[n-1] 进行比较，找到最小的元素，并与 arr[i] 的位置位置
直到循环执行 n - 1 次
总结：两层 for 循环
第一层 for 循环控制走多少趟：for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
从数组第一个元素开始，因为每次都是拿当前元素 arr[j] 和其后一个元素 arr[j+1] 进行比较
到数组倒数第二个元素结束，将 arr[arr.length - 2] 与 arr[arr.length - 1] 进行比较后，数组就已经是有序数组
如果数组大小为 n ，那么执行完第 n - 1 趟时，数组就已经是有序数组
- 第二层 for 循环控制从第几个元素开始执行选择排序：for (int j = i + 1; j < arr.length; j++)
每次进入第二层 for 循环时，先假设当前元素 arr[i] 是最小的元素：min = arr[i]; ，并记录最小元素的下标：index = i;
然后依次和其后面的元素 arr[j] 比较，如果找到比 arr[i] 小的元素，则更新最小值和最小值的索引：min = arr[j]; index = j ;
4.4、代码实现
4.4.1、理解选择排序
一步一步理解选择排序算法 ```java //选择排序 public class SelectSort {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 101, 34, 119, 1 }; selectSort(arr);}
// 选择排序 public static void selectSort(int[] arr) {
// 使用逐步推导的方式来，讲解选择排序 // 第1轮 // 原始的数组 ： 101, 34, 119, 1 // 第一轮排序 : 1, 34, 119, 101 // 算法 先简单--》 做复杂， 就是可以把一个复杂的算法，拆分成简单的问题-》逐步解决 // 第1轮 int minIndex = 0; int min = arr[0]; for (int j = 0 + 1; j < arr.length; j++) { if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小 min = arr[j]; // 重置min minIndex = j; // 重置minIndex } } // 将最小值，放在arr[0], 即交换 if (minIndex != 0) { arr[minIndex] = arr[0]; arr[0] = min; } System.out.println("第1轮后~~"); System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101 // 第2轮 minIndex = 1; min = arr[1]; for (int j = 1 + 1; j < arr.length; j++) { if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小 min = arr[j]; // 重置min minIndex = j; // 重置minIndex } } // 将最小值，放在arr[0], 即交换 if (minIndex != 1) { arr[minIndex] = arr[1]; arr[1] = min; } System.out.println("第2轮后~~"); System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101 // 第3轮 minIndex = 2; min = arr[2]; for (int j = 2 + 1; j < arr.length; j++) { if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小 min = arr[j]; // 重置min minIndex = j; // 重置minIndex } } // 将最小值，放在arr[0], 即交换 if (minIndex != 2) { arr[minIndex] = arr[2]; arr[2] = min; } System.out.println("第3轮后~~"); System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 101, 119}
}
- 程序运行结果
```java
第1轮后~~
[1, 34, 119, 101]
第2轮后~~
[1, 34, 119, 101]
第3轮后~~
[1, 34, 101, 119]
4.4.2、编写选择排序
编写选择排序算法 ```java //选择排序 public class SelectSort {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 101, 34, 119, 1 }; selectSort(arr);}
// 选择排序 public static void selectSort(int[] arr) {
// 在推导的过程，我们发现了规律，因此，可以使用for来解决 // 选择排序时间复杂度是 O(n^2) for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) { int minIndex = i; int min = arr[i]; for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) { if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小 min = arr[j]; // 重置min minIndex = j; // 重置minIndex } } // 将最小值，放在arr[0], 即交换 if (minIndex != i) { arr[minIndex] = arr[i]; arr[i] = min; } System.out.println("第" + (i + 1) + "轮后~~"); System.out.println(Arrays.toString(arr)); }} }
- 程序运行结果
```java
第1轮后~~
[1, 34, 119, 101]
第2轮后~~
[1, 34, 119, 101]
第3轮后~~
[1, 34, 101, 119]
4.4.3、测试选择排序性能
测试代码 ```java //选择排序 public class SelectSort {
public static void main(String[] args) {
//创建要给80000个的随机的数组 int[] arr = new int[80000]; for (int i = 0; i < 80000; i++) { arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数 } Date data1 = new Date(); SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss"); String date1Str = simpleDateFormat.format(data1); System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str); selectSort(arr); Date data2 = new Date(); String date2Str = simpleDateFormat.format(data2); System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);}
// 选择排序 public static void selectSort(int[] arr) {
// 在推导的过程，我们发现了规律，因此，可以使用for来解决 // 选择排序时间复杂度是 O(n^2) for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) { int minIndex = i; int min = arr[i]; for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) { if (min > arr[j]) { // 说明假定的最小值，并不是最小 min = arr[j]; // 重置min minIndex = j; // 重置minIndex } } // 将最小值，放在arr[0], 即交换 if (minIndex != i) { arr[minIndex] = arr[i]; arr[i] = min; } }} }
- 程序运行结果
```java
排序前的时间是=2020-07-15 19:59:19
排序前的时间是=2020-07-15 19:59:20
4.5、总结
- 由于选择排序算法在最内层的 for 循环中，满足 if (min > arr[j]) { 条件后，只需要记录最小值和最小值在数组中的索引，无需像冒泡排序那样每次都要执行交换操作，所以选择排序算法的执行速度比冒泡排序算法快一些
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