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进制

进制基础知识

进制，指进制位，是一种记数方式，也称为进位记数法或位值记数法。

十进制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
R进制：由 0~(R-1) 组成，并且每一位上的数据逢 R 进 1；

我们的计算机是由逻辑电路组成，逻辑电路通常只有两个状态：开关的接通与断开；
这两种状态正好可以用 “1” 和 “0” 表示，也就是我们要讲解的组成二进制的数字符号。

二进制：0,1

虽然计算机喜欢二进制数据，但是用二进制表示数据太长了，为了解决这个问题，八进制和十六进制就来了。

八进制：0,1,2,3,4,5,6,7
十六进制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F（不区分大小写）

进制越大，表示形式越短。

为了区分不同进制数值的表示，常常在开头处加以区分：

二进制：在Java中以 0b 开头；
八进制：在Java中以 0 开头；
十进制：整数默认是十进制的；
十六进制：在Java中以 0x 开头；
进制转换
R 进制到十进制

规则：按权展开法（系数 * 基数的权次幂相加）

系数：每一位上的数；
基数：R 进制，基数就是 R；
权：从数值的右侧，以 0 开始编号，对应位上的编号就是该位上的权；

十进制到 R 进制

规则：重复相除法（除基取余，直到商为 0，余数反转）

进制之间的快速转换

二进制到十进制

采用 8421 码是 BCD 代码中最常用的一种。

BCD：（Binary-Coded Decimal）二进制码十进制数，在这种编码方式中，每一位二进制值代码的 1 都是代表一个固定数值，把每一位的 1 代表的十进制加起来得到的结果就是它所代表的十进制数码。

示例：

二进制	1	1	1	1	1	1	1	1
十进制	128	64	32	16	8	4	2	1

二进制到八进制

三位组合法：

把二进制的数据，从右开始，每三位一组合，最左边不够的时候补 0；
然后，分别计算对应的十进制数值；
最后，从左往右，把每个十进制的数据组合起来，就是一个八进制数据；

二进制到十六进制

四位组合法：

把二进制的数据，从右开始，每四位一组合，最左边不够的时候补 0；
然后，分别计算对应的十进制数值；
最后，从左往右，把每个十进制的数据组合起来，就是一个十六进制数据；

注释，10 - 15 的数值要用 A - F 替换

Java 内置的进制转换

java.lang.Integer 类中的静态方法：

public static String toBinaryString(int i)：在基数 2 中返回整数参数的字符串表示形式为无符号整数；
public static String toOctalString(int i)：在基数 8 中返回整数参数的字符串表示形式为无符号整数；
public static String toHexString(int i)：返回整数参数的字符串表示形式，作为16位中的无符号整数；
public static String toString(int i, int radix)：返回由第二个参数指定的基数中的第一个参数的字符串表示形式；

有符号数据表示法

十进制数据：

+表示正数
-表示负数

计算机中的数据：

0表示正数
1表示负数

而对于计算机识别的数据来说，0和1本身也表示数据值，那么我们怎么判断它是数值位还是符号位呢？

规定：符号位位于数值第一位。
其实，这就是我们有符号数据表示法的一种表示形式，叫原码表示法。

原码表示法

最简单的机器数表示法。

1 表示负号，0 表示正号。
用最高位表示符号位，其余位表示数值的大小、

计算：
1 + 2 = 00000001 + 00000010 = 00000011 = 3
1 - 2 = 1 + (-2) = 00000001 + 10000010 = 10000011 = -3 X

原码表示的方式使用减法时是有问题的，需要通过反码完成。

反码表示法

正数的反码和原码相同
负数的反码就是它的原码除符号位以外，按位取反（1 变成 0,0 变成 1）

计算：
1 - 2 = 1 + (-2) = 00000001 + 11111101 = 11111110 = -1
-1 - 2 = -1 + (-2) = 11111110 + 11111101 = 11111011（符号位进位舍弃）= -4 X

用反码来进行两个负数的加法是有问题的。

补码表示法

正数的补码和原码相同；
负数的补码等于反码加一。即它的原码除符号位以外，按位取反，末位加一；

计算：
1 - 2 = 1+ (-2) = 00000001 + 11111110 = 11111111 = -1
-1 - 2 = (-1) + (-2) = 11111111 + 11111110 = 11111101（符号位进位舍弃） = -3

结论：在计算机中，存储和运算采用的都是补码进行的，计算过程中，符号进位舍弃。

整数强制转换之数据溢出

byte b = (byte) 130;
System.out.println(b); // -126

下面看一下运算步骤：

首先我们将 130 还原为计算机存储的二进制形式，也就是补码形式。
130 默认为 int 类型占 4 个字节，对应的二进制原码为：00000000000000000000000010000010
130 对应的补码：00000000000000000000000010000010
强制转换为 byte 类型。则补码：10000010
反码：10000001
原码：11111110
最高位 1 为符号位，通过 8421 码得到的十进制数值为：-126

最终130 强转为 byte 类型结果输出为 -126

浮点数进制间的转换

https://www.bilibili.com/read/cv11242656/

二进制浮点数转换为十进制浮点数

规则：按权展开法（系数 * 基数的权次幂相加）

系数：每一【位】上的数
基数：R 进制，基数就是 R
权：
- 整数部分：从小数点左侧，以 0 开始编号，对应位上的编号就是该位上的权
- 小数部分：从小数点右侧，以 -1 开始编号，对应位上的编号就是该位上的权

十进制浮点数转换为二进制浮点数

规则：整数部分重复相除法，小数部分重复相乘法

整数部分重复相除法：除基取余，直到商为 0，余数反转；
小数部分重复相乘法：乘基取整，直到小数位 0 或者达到指定精度位，整数顺序排列。

举例：58.625 转换成二进制数 111010.101

# 整数部分
58 / 2 = 29...0
29 / 2 = 14...1
14 / 2 = 7....0
7 / 2 = 3.....1
3 / 2 = 1.....1
1 / 2 = 0.....1 # ↑ 商为0，余数反向取值：111010
# 小数部分
0.625 * 2 = 1.25...1
0.25 * 2 = 0.5  ...0
0.5 * 2 = 1.0   ...1 # ↓ 小数位为0或满足精度要求，正向取值：101
# 最终二进制：111010.101

小数部分，对于有些数字，无法计算到小数位为 0，这时就会有精度丢失问题。例如 0.1

# 整数部分
0 / 2 = 0...0
# 小数部分
0.1 * 2 = 0.2...0
0.2 * 2 = 0.4...0
0.4 * 2 = 0.8...0
0.8 * 2 = 1.6...1
0.6 * 2 = 1.2...1
0.2 * 2 = 0.4...0
0.4 * 2 = 0.8...0
......

最终结果为 0.000110001100011……

浮点数存储

根据国际标准 IEEE754，任意一个二进制浮点数都可以表示为：

$Java 进制 - 图1$ %5Es%20%20M%20%202%5EE%0A#card=math&code=V%20%3D%20%28-1%29%5Es%20%2A%20M%20%2A%202%5EE%0A&id=KD3Oa)

s 表示符号位，当 s = 0，V 为正数，当 s = 1，V 为负数；
M 表示有效数字；
E 表示指数位；

举例：十进制的浮点数位 6.225，对应二进制位 110.101 相当于 1.10101*2^2

按照上面 V 的格式，可以得出：s = 0, M = 1.10101, E = 2

IEEE 754 对浮点数存储的规定：

对于 32 位浮点数，也就是 float 类型的，最高的 1 位是符号位 s。接着的 8 位是指数 E。剩下的 23 位是有效数字 M;
对于 64 位浮点数，也就是 double 类型的，最高的 1 位是符号位 s。接着的 11 位是指数 E。剩下的 52 位是有效数字 M;

IEEE 754 对有效数字 M 和指数 E，还有一些特别规定：

规范化表示的时候，M 要写成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小数部分

IEEE 754 规定，在计算机内部保存 M 时，默认这个数的第一位总是 1，因此可以被舍去，只保存后面的 xxxxxx 的部分；

举例：保存 1.01 的时候，只保存 01，等到读取的时候，再把第一位的 1 加上去。

指数 E，为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果 E 为 8 位，它的取值范围为 0 ~ 255，如果 E 为 11 位，它的取值范围为 0 ~ 2047；但是我们知道，科学计算法中的 E 是可以出现负数的，所以 IEEE 754 规定，E 的真实值必须再减去一个中间数，对于 8 位的 E，这个中间数是 127, 对于 11 位的 E，这个中间数是 1023。

举例：2^10 的 E 是 10，所以保存为 32 为浮点数时，必须保存成 10 + 127 = 137，即 10001001

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