谱图理论基础
图信号
图信号可以看作一个作用在图上的函数，在每个顶点上都有一个值。文中用竖线的形式来表示图信号。
The Non-Normalized Graph Laplacian
非归一化的图 Laplace 矩阵定义为 
，
至于为什么这样定义的 L 可以类比成 Laplace 算子，通俗的解释可以参考《拉普拉斯矩阵与拉普拉斯算子的关系》，严格的证明可看《Discrete Regularization on Weighted Graphs for Image and Mesh Filtering》，也有另一种解释，首先定义梯度：
Graph Fourier Transform
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特征向量的意义
传统傅里叶变换中的特征值 
对应着特征向量的频率：
的绝对值越小，
在 t 上的变化越小。 在图上也有类似的性质：
的绝对值越小，
在 i 上的变化越小。
事实上，当 
时，
在同一连通分量顶点上的值都相等。
由此还可引出 Laplace 矩阵的另一个性质：L 的零特征值的重数，等于图中连通分量的个数。
想看证明的可以去翻 Hamilton的 《Graph Representation Learning》第22页。
算了，还是贴上来吧：
扯远了，我们继续，作者设计了一个实验，把特征向量的值在图上可视化了出来，可以看到 
上的值几乎都是一样的；
上的值有所变化，但变化很规律，过渡很平滑；而到了 
，变化就相当剧烈了。
《Geometric deep learning: going beyond Euclidean data》中也有张类似的图：
至于如何定量地分析这一现象，论文中也有提及，这一组基也可以从使图信号最光滑的角度来定义：
图上的滤波
谱域滤波
传统信号处理中是这样使用滤波函数的：
其中 
就是滤波的变换函数(Transfer function)。
使用卷积公式，在频域做滤波等价于在空域做卷积：
类似的，如果我们要在图上的谱域做滤波：
其傅里叶逆变换为：
矩阵形式推导如下：
空域滤波
二者之间的联系
如果谱域滤波的变换函数为 K 阶多项式：
那么有：
原论文的写法有点让人头晕，写成矩阵形式就很好理解了：
这样两者就联系起来了：
有一点需要注意的是，如果 
，那么说明 i 和 j 之间的最短路长度 
，这一点和邻接矩阵的性质一样，证明见《Wavelets on graphs via spectral graph theory》的 Lemma 5.4，贴个证明懒得再翻了。
其他内容
还有一些内容似乎暂时用不上，就没看了，有空再填坑。
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