运筹学

基础

1. 概念：运筹学是一门在需要对紧缺资源进行分配的前提下，决定如何最好地设计和动作人机系统的决策科学。

2. 特点：

   1. 多学科交叉
   2. 以量化为基础
   3. 强调“最优”决策

3. 研究内容

   1. 分析理论：研究资源的最优利用、设备最佳运行等

• 分析理论常用的数据分析方法有规划论（如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划等），网络模型、最优控制等。
  1. 决策理论：研究方案或策略的最优选择问题
• 决策理论常用 的数据分析方法有博弈率、决策率、多目标决策、存储率等。
  1. 随机服务理论：研究随机服务系统排队和拥挤现象
• 随机服务理论讨论随机服务系统的服务效率、绩效评价和服务设施最佳设计等问题，常用方法排队论。

工作步骤

• 如何从真实系统中提炼出建模语言是最难的部分，也是教学中比较欠缺的一环。教学都偏向于建模后的计算，而这往往又可由计算机代替完成了。
• 系统分析和问题描述，即要弄清问题的目标、可能的约束、问题的可控变量以及有关参数，然后把这之间的关系用一定的模型表示出来。

模型应用
模型是研究者对客观现实经过思维抽象后，用文字、图表、符号、关系式以及实体模型描述所认识到的客观对象。
分析方法

• 直接分析法：研究生者对问题内存机理的认识直接构造出模型，如线性规划、投入产出模型等；
• 类比法：模型的结构性质是类同的，可以互相类比，如设施规划、厂址选择问题等；
• 数据分析法：问题机理未清，但能收集或通过试验获取大量数据，统计分析建模。如预测决策中的回归模型等；
• 概率统计分析法：问题机理不清，不能做大量试验，通过局部试验的数据加分析建模。如排除模型；
• 相定法：问题机理不清，缺少数据，不能试验，根据逻辑上合理的设想建模。如世界能源模型。

应用领域

• 生产计划:用线性规划和模拟方法，总体确定生产、存贮和劳动力的配合计划等，还可用于生产作业计划、日程表的编排等，还有在合理下料、配料问题、物料管理等方面的应用。
• 生产计划:用线性规划和模拟方法．总体确定生产、存贮和劳动力的配合计划等，还可用于生产作业计划、日程表的编排等．还有在合理下料、配料问题、物料管理等方面的应用。市场销售:广告预算和媒介选择、竞争性定价、新产品开发、销售计划的制定等
• 库存管理:多种物资库存量的管理，确定某些设备的能力或容量，如停车场大小、水库容量等
• 运输问题:空运、水运、公路铁路运输、管道运输、厂内运输。如飞行航班安排等
• 财政会计:预算、贷款、成本分析、定价、投资、证券管理、现金管理等人事管理:人员获得与需求估计、人才开发、人员分配及合理利用、人才评价、工资津贴确定等
• 设备维护:设备维修、更新和可靠性、项目选择和评价
• 工程优化:建筑、电子、光学、机械和化工等领域的工程优化设计
• 计算机与信息系统:计算机的内存分配，不同排队规则对磁盘工作性能的影响等
• 城市管理:各种紧急服务系统的设计和运用，如救火站、救护车、警车等分布点的设立

模型的一般数据形式可用下列表达式描述：
目标的评价准则：
结束条件：
可控变量：
已知参数：
随机因素：

运筹学示例.xlsx

运筹学的具体内容包括：规划论（包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划）、库存论、图论、决策论、对策论、排队论、可靠性理论等。

规划论

线性规划与单纯形法

1、问题提出

决策变量：问题中要确定的未知量，表明规划中的用数量表示方案、措施，可由决策者决定和控件；
目标函数：决策变量的函数，表示决策者希望达到的计划目标；
约束条件：指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式。

2、图解法（只适用两个决策变量的问题）

由全部约束条件作图求出可行域；
作目标函数等值线，确定使目标函数最优的移动方向；
平移目标函数的等值线，找出最优点，算出最优值。
结论：

1. 线性规划解的情况有:唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；
2. 若线性规划的可行域存在，则可行域一定是个凸集；
3. 若线性规划的最优解存在，则最优解或最优解之一(无穷多解时)一定是可行域的凸集的某个顶点。

4、线性规划的共同特征

1. 决策变量：每个问题都用一组决策变量表示某个方案；
2. 决策变量：决策变量的取值一般都是非负且连续的；
3. 约束条件：与决策变量不矛盾的条件，用线性等式或不等式表示；
4. 目标函数：决策变量与价值系数组成，一般要求实现最大或最小化。

线性规划的标准性
口诀：
目标函数最大
约束条件等式
决策变量非负
资源限量非负
目标函数——资源限量——约束条件——决策变量

库存论

库存论是一种研究物质最优存储及存储控制的理论，物质存储时工业生产和经济运转的必然现象。如果物质存储过多，则会占用大量仓储空间，增加保管费用，使物质过时报废从而造成经济损失；如果存储过少，则会因失去销售时机而减少利润，或因原料短缺而造成停产。因而如何寻求一个恰当的采购，存储方案就成为库存论研究的对象。

图论

图论是一个古老的但又十分活跃的分支，它是网络技术的基础。图论的创始人是数学家欧拉。1736年他发表了图论方面的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七桥难题，相隔一百年后，在1847年基尔霍夫第一次应用图论的原理分析电网，从而把图论引进到工程技术领域。

排队论

排队论又叫做随机服务系统理论。它的研究目的是要回答如何改进服务机构或组织被服务的对象，使得某种指标达到最优的问题。比如一个港口应该有多少个码头，一个工厂应该有多少维修人员等。
因为排队现象是一个随机现象，因此在研究排队现象的时候，主要采用的是研究随机现象的概率论作为主要工具。此外，还有微分和微分方程。排队论把它所要研究的对象形象的描述为顾客来到服务台前要求接待。如果服务台以被其它顾客占用，那么就要排队。另一方面，服务台也时而空闲、时而忙碌。就需要通过数学方法求得顾客的等待时间、排队长度等的概率分布。
排队论在日常生活中的应用是相当广泛的，比如水库水量的调节、生产流水线的安排，铁路分成场的调度、电网的设计等。

可靠性理论

可靠性理论是研究系统故障、以提高系统可靠性问题的理论。可靠性理论研究的系统一般分为两类：（1）不可修系统：如导弹等，这种系统的参数是寿命、可靠度等，（2）可修复系统：如一般的机电设备等，这种系统的重要参数是有效度，其值为系统的正常工作时间与正常工作时间加上事故修理时间之比。

对策论

对策论也叫博弈论，前面讲的田忌赛马就是典型的博弈论问题。作为运筹学的一个分支，博弈论的发展也只有几十年的历史。系统地创建这门学科的数学家，冯·诺依曼。
最初用数学方法研究博弈论是在国际象棋中开始的，旨在用来如何确定取胜的算法。由于是研究双方冲突、制胜对策的问题，所以这门学科在军事方面有着十分重要的应用。数学家还对水雷和舰艇、歼击机和轰炸机之间的作战、追踪等问题进行了研究，提出了追逃双方都能自主决策的数学理论。随着人工智能研究的进一步发展，对博弈论提出了更多新的要求。

决策论

决策论研究决策问题。所谓决策就是根据客观可能性，借助一定的理论、方法和工具，科学地选择最优方案的过程。决策问题是由决策者和决策域构成的，而决策域又由决策空间、状态空间和结果函数构成。研究决策理论与方法的科学就是决策科学。
决策所要解决的问题是多种多样的，从不同角度有不同的分类方法，按决策者所面临的自然状态的确定与否可分为：确定型决策、不确定型决策和风险型决策；按决策所依据的目标个数可分为：单目标决策与多目标决策；按决策问题的性质可分为：战略决策与策略决策，以及按不同准则划分成的种种决策问题类型。不同类型的决策问题应采用不同的决策方法。决策的基本步骤为：（1）确定问题，提出决策的目标；（2）发现、探索和拟定各种可行方案；（3）从多种可行方案中，选出最满意的方案；（4）决策的执行与反馈，以寻求决策的动态最优。
如果决策者的对方也是人（一个人或一群人）双方都希望取胜，这类具有竞争性的决策称为对策或博弈型决策。构成对策问题的三个根本要素是：局中人、策略与一局对策的得失。对策问题一般可分为有限零和两人对策、阵地对策、连续对策、多人对策与微分对策等。

搜索论

搜索论是由于第二次世界大战中战争的需要而出现的运筹学分支。主要研究在资源和探测手段受到限制的情况下，如何设计寻找某种目标的最优方案，并加以实施的理论和方法。