62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109

解法一：DP

memoziation

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        def f(m, n, memo = {}):
            key = (m, n)
            if key in memo:
                return memo[key]
            if m == 0 or n == 0:
                return 0
            if m == 1 and n == 1:
                return 1
            memo[key] = f(m - 1, n, memo) + f(m, n - 1, memo)
            return memo[key]
        return f(m, n)

tabulation

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            for j in range(n):
                if i == 0 or j == 0:
                    dp[m][n] = 1
                else:
                    dp[m][n] = dp[m - 1][n] + dp[m][n - 1]
        return dp[-1]

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            f[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            f[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}

解法二：组合数

从m+n-2中选出m-1步向右，剩余的向下。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            ans = ans * x / y;
        }
        return (int) ans;
    }
}

相关题目

63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

m == obstacleGrid.length
n == obstacleGrid[i].length
1 <= m, n <= 100
obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid: List[List[int]]) -> int:
        def f(m, n, memo={}):
            key = (m, n)
            if key in memo:
                return memo[key]
            if obstacleGrid[m - 1][n - 1]:
                return 0
            if m == 0 or n == 0:
                return 0
            if m == 1 and n == 1:
                return 1
            memo[key] = f(m - 1, n, memo) + f(m, n - 1, memo)
            return memo[key]
        m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
        return f(m, n)

64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid or not grid[0]:
            return 0
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        dp[0][0] = grid[0][0]
        for i in range(1, m):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
        for j in range(1, n):
            dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
        return dp[m - 1][n - 1]

DP空间复杂度可以压缩至O(n)，即只存储上一行的n个dp值。

class Solution:
    def minPathSum(self, grid):
        dp = [float('inf')] * (len(grid[0])+1)
        dp[1] = 0
        for row in grid:
            for idx, num in enumerate(row):
                dp[idx + 1] = min(dp[idx], dp[idx + 1]) + num
        return dp[-1]